NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/01/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Théorie des ensembles

PRODUIT CARTÉSIEN

Comment conjuguer deux ensembles ?

Combien de possibilités ?

Le produit cartésien de deux ensembles engendre des couples comme, par exemple, les deux coordonnées du plan.

Le produit cartésien de trois ensembles engendre des triplets comme, par exemple, les trois coordonnées de l'espace.

Un nombre complexe est formé de couples de nombres issus d'un produit cartésien entre l'ensemble des nombres réels et lui-même.

Produit cartésien
Effectuer le produit cartésien d'un ensemble E par un ensemble F, noté E x F, consiste à distribuer tous les éléments de E par rapport à chaque élément de F. Le produit de E, comportant k éléments, par F, en comportant H, engendre un ensemble de k.h éléments (couples).	Exemples E = {2, 3} et F = {a, b} E x F = { (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } G = {As, Roi} H = { } G x H = { (As, ), (As, ), (As, ), (As, ), (Roi, ), (Roi, ), (Roi, ), (Roi, ) } E x F compte 2 x 2 = 4 couples G x H compte 2 x 4 = 8 couples

Propriétés
Dans un produit cartésien, les couples formés sont ordonnés, ils sont mentionnés entre parenthèses. Le produit cartésien n'est pas commutatif. Le produit cartésien avec un ensemble vide est nul. Le produit d'un ensemble infini par un ensemble infini est infini. Le produit cartésien de trois ensembles engendre des triplets. Même histoire pour quatre ou plus.	Le produit fixe l'ordre des deux éléments de chaque couple. Le premier élément provient de E et le second de F. E x F est différent de F x E. E x = N x N = N² ensemble de tous les couples d'entiers positifs ou nuls. R x R = R² ensemble de tous les couples de nombres réels. E x F x G écrit sans parenthèse = { (E0, F0, G0), (E1, F1, G1) … } (E x F) x G E x (F x G) en général.

Nous retenons

Un produit cartésien produit des couples, triplets, quadruplets … ordonnés dont l'usage est multiple. Les coordonnées dans le plan ou dans l'espace offrent de bons exemples d'emploi.

Suite	Ensemble – Glossaire et Index Logique – Index Compter les ensembles
Voir	Groupe Structure algébrique – Index Symboles Théorie des nombres – Index
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