NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES COMPLEXES

Est-ce que l'imaginaire est complexe?

Pour vous faire une idée, allez voir sur cette page:

Interprétation de l'imaginaire

Puissance de l'imaginaire

Je vous ai mis zéro; mais pourquoi m'avoir rendu une page blanche? – Mais, M'sieur ce sont des nombres imaginaires ...

Allons ! Résolvons ces problèmes sans complexes.

Voir Pensées & humour

NOMBRES COMPLEXES

Définition

Nombres complexes: expression de la forme z = a + ib

où a et b sont des nombres réels,

et i un "nombre imaginaire" tel que: i² = – 1 soit: i =

Voir Notation symbolique de i = racine de –1 – Sa légitimité ?

a est la partie réelle du nombre complexe;
b est la partie imaginaire du nombre complexe.

Intérêt

Les équations du deuxième degré ax² + bx + c = 0 ont toujours deux racines qui, si elles ne sont pas réelles, sont imaginaires.

Historiquement, les nombres complexes furent imaginés pour résoudre les équations du troisième degré, en toute généralité.

Applications

Les nombres complexes créent un pont avec la géométrie, notamment dans le domaine des rotations et similitudes.

En mathématiques pure, le passage au monde des complexes permet la résolution de problèmes pratiquement insoluble sinon. C'est le cas pour le calcul de certaines intégrales. Le cas aussi de l'analyse complexe à l'aide du théorème des résidus.

D'une manière générale, les complexes font partie de la boîte à outils des ingénieurs. Ils facilitent les calculs des formes d'onde (électronique, acoustique …), des flux (aérodynamique, hydrodynamique …). Ils sont utiles en théorie du signal (radar, sonar imagerie), en automatique (régulation, servomécanismes …).

Les électroniciens font grand usage des nombres complexes pour décrire le comportement des circuits électroniques en régime permanent comme en régime transitoire.

Deux outils typiques:

Le calcul de la transformée de Fourier rapide (FFT: Fast Fourier Transform).

La transformation de Joukovsky (Z = z + 1/z: transformation conforme) est utilisée pour calculer le profil des ailes d'avions.

En sciences, la mécanique quantique fait usage des complexes. Équation de Schrödinger, matrice d'Heisenberg, espace complexe de Hilbert …

LEVIER MATHÉMATIQUE

Il est très pratique de passer dans le monde des complexes, momentanément, pour calculer et résoudre un problème. Même s'il faut traiter deux parties (réelles et imaginaires) – donc une de plus! – le calcul dans le monde des complexes est plus productif. En final, le retour dans le monde des réels donne la solution cherchée. Ce cas de changement de monde est fréquent en mathématiques: passage aux logarithmes pour simplifier des calculs complexes, par exemple.

Voir Inversion géométrique et son effet de levier / Multiplication rapide

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Rappel fondamental

Le nombre i est le nombre complexe dont le carré est égal à –1: .

Il est racine du polynôme x² + 1 = 0.

On le note symboliquement: >>>

Illustration graphique

Le triangle ABC en rouge est rectangle, car: l'un des côtés (BC) est un diamètre du cercle et le sommet opposé (A) est sur le cercle.

Propriété fondamentale du triangle rectangle:

Ici, cette relation est évidente puisque a, b et c ont pour longueur le rayon du cercle:

En osant utiliser les "longueurs relatives", cette relation donnerait une longueur bien étrange:

Le nombre imaginaire i se trouve être le nombre complexe dont le carré est égal à -1. Son image dans le plan complexe se trouve effectivement au point A d'ordonnée y = 1, ou selon notre calcul relatif, en racine de moins 1, représentant le nombre imaginaire i.

Intuitivement

On peut comprendre pourquoi, du monde purement imaginaire (axe vertical y), on peut se retrouver dans le monde purement réel (axe horizontal x), car avec i, on réalise une rotation de 90° vers le monde imaginaire (axe des y) et avec une nouvelle application de i (au total i² ), on repasse au monde réel (axe des x). En fait: i² = – 1 correspond à une rotation de 180°.

REPRÉSENTATION
Le plan complexe (d'Argand ou de Gauss) Un nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan. La partie réelle a donne l'abscisse; et La partie imaginaire b, l'ordonnée.  La longueur de OM est appelée: module ; L'angle est l'argument On apprécie le côté pratique des nombres complexes du fait de leurs multiples représentations: géométrie, trigonométrie, et exponentielle.

Voir Nombres de Gauss: entiers sur le plan complexe / Abscisse angulaire / Argand / Gauss

Résumé

Voir Forme des complexes: cartésienne, polaire et exponentielle

Définition des nombres complexes

Actuelle (due à Hamilton) Le corps des nombres complexes est l'ensemble des couples a + i b = (a, b) de nombres réels muni de deux opérations, l'addition membre à membre et la multiplication définie par (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc) Matricielle (adoptée par la commission Lichnérowicz) Un nombre complexe est défini par une matrice carrée d'ordre deux: Polynômiale (attribuée à Cauchy: 1789-1857) Les nombres complexes a + i b sont constitués de l'ensemble des polynômes réels de la forme: P(x) = a + bx + (x² + 1) Q(x) où Q est un polynôme arbitraire.

Bilan et observation

Trouvaille du "nombre" i qui permet la création du nouveau monde des nombres complexes aux applications multiples.

Vous allez découvrir comme effectuer les quatre opérations classiques, effectuer des calculs en utilisant de identités remarquables, etc.

Remarquez que: i = -1, alors i² = -1 mais aussi (-i)² = -1,
car (-i)² = (-1 x i)(-1 x i) = +1 x i² = -1. >>>

Vous n'imaginez pas la puissance de l'imaginaire …

Voir Portail des nombres complexes

English corner
Complex Numbers: a combination of a real and an imaginary number in the form a + bi, where a and b are real, and i is imaginary. The values a and b can be zero, so the set of real numbers and the set of imaginary numbers are subsets of the set of complex numbers.

Suite	Opérations sur les complexes Nombre complexe conjugué Théorème de Moivre et applications aux puissances Exemple de calcul avec les complexes et les radicaux Quaternions Carré magique avec des complexes Complexes – Index
Terminale	Complexes – Résumé du cours de terminale
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels
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