Formes en a puissance n plus un

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INDEX Puissance Décomposition		En puissance de 2	Forme en aⁿ + 1
		Sommaire de cette page >>> Premier en aⁿ + 1 >>> Exemples >>> Formes en a² + 1

Formes en

aⁿ + 1

a² + 1

Premier
Démontrer que si aⁿ + 1 représente un nombre premier, a et n étant supérieur à 1	Alors n est une puissance de 2.
Si a > 1 alors	aⁿ + 1 > 2
Si aⁿ + 1 est premier	alors aⁿ + 1 est impair, car tous les premiers supérieurs à 2 sont impairs.
Si aⁿ + 1 est impair	alors aⁿ est pair et a, lui-même est pair.
Supposons que n ne soit pas une puissance de 2	Alors n = premier ou produit de premier selon le théorème fondamental de l'arithmétique
1) Supposons que n = p (donc impair), alors notre forme se factorise	aⁿ + 1 = (a – 1) (a^n–1 – a^n–2 + ... – a + 1)
La possibilité de factorisation montre que cette forme n'est pas première	Contradiction avec notre hypothèse. Supposition rejetée: n n'est pas premier pur
2) Supposons que n est un produit de premiers (sans 2). Isolons un des facteurs premiers p. Nous avons n = k . p Aussi bien p que k sont impairs. Ce qui autorise la factorisation	aⁿ + 1 = (a^n/p) ^p + 1 = (a^k) ^p + 1 = (a^k – 1) ( ... )
À nouveau, factorisation	Contradiction et la supposition que n ne soit pas une puissance de 2 est fausse.

Exemples

Valeur de aⁿ +1 dans tous les cas pour a de 2 à 6 et n de 2 à 17

Notre théorème est bien confirmé (cases en jaune): Si aⁿ + 1 est premier alors n est une puissance de 2. La réciproque n'est pas vraie.

Conclusion: il est rare d'obtenir que aⁿ + 1 soit premier.

Forme en a² + k ou a² – k

Dire quand cette forme est divisible par 4.

Tableau des possibilités en mod 4 selon que a, un nombre entier, est pair ou impair.

Les nombres a² + 3 pour a pair et a² + 1 pour a impair sont divisibles par 4.

Même analyse avec les cubes

a³ est divisible par 9 si a l'est;

a³ + 1 est divisible par 9 si a = 2 mod = 3; et

a³ – 1 est divisible par 9 si a = 1 mod = 3.

Forme de a² + 1 en a² – 2

Pour tout entier a, a²+ 1 est de la forme 4k + 1 ou 4k + 2.

Si a est pair, a² + 1 = (2h)² + 1 = 4h² + 1 = 4k + 1.

Si a est impair, a² + 1 = (2h + 1)² + 1 = 4h² + 4h + 2 = 4k + 2.

Pour tout entier a, a²- 2 n'est pas divisible par 4.

Si n est divisible par 4: n = 4q et a² - 2 = 16q² - 2, non divisible.

Si n n'est pas divisible par 4: n = (4q + r)²- 2 = 16q² + 8qr + r² - 2

si r = 1: n = 16q² + 8q – 1 non divisible par 4;

si r = 2: n = 16q² + 16q + 2 non divisible par 4; et

si r = 3: n = 16q² + 24q + 7 non divisible par 4.

Divisibilité de 2^a + 1 par 2^b – 1
Pour a > 0 et b > 2, montrez que:
Observations, montrant le pourquoi des conditions. Dés que b dépasse 2, nous obtenons une fraction, même pour a = 1.
Démonstration
Cas où b = a
Sous forme de division euclidienne. Quotient 1 et reste 2.	Non divisible.
Cas où b > a avec b = a + k
Même si k = 1, le facteur 2^a étant au moins égal à 2
Soustraire 1 de chaque côté, les termes restants positifs.	Le numérateur est plus grand que le dénominateur: pas divisible.
Cas où b < a
Si le premier membre est divisible par 2^b – 1 alors le second doit l'être et en particulier le second terme:
On peut recommencer en posant:	a – b = a' tant que cette entité est plus grande que b.
Arrivera un moment ou soit il y a égalité ou alors le a' devient inférieur à b	Nous sommes ramenés au deux cas précédents.

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