NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	PUISSANCES
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				Trois chiffres
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Étages et racines >>> Puissance 9 >>> Notations >>> Exemples >>> Puissances de 10 >>> Valeurs >>> Réduction d'un étage >>> English corner

Puissances de puissances

ou

Exposants à étages

Calculs et comparaison entre eux.

English: tower power, hard powers

Règle des exposants à étage

Voir Résoudre x en puissance / Défis en algèbre

Exemple en apéritif (énigme classique sur le Net)

APPROCHE
Certaines apparences sont bien trompeuses! De cet exemple, l'on pourrait conclure que l'ordre des parenthèses est indifférent sur le résultat. Les puissances à étages sont déroutantes et leurs valeurs sont toujours étonnantes. Le mieux est de systématiquement préciser les parenthèses, même s'il est permis de l'éviter dans le dernier cas. La convention veut que l'on commence à calculer les puissances par les exposants les plus hauts.

Lecture des puissances à étages: ne pas confondre …

Calcul des exposants par le haut ou, placer les parenthèses en haut.

Loi de composition des exposants ou, on calcule d'abord dans les parenthèses.

Étages et racines
Voir irrationnels produisant des rationnels Exploration des racines à étages avec 2.

Cas de la puissance de 9
Le plus grand nombre avec 3 chiffres seulement. 369 millions de chiffres. On connaît les 1200 premiers chiffres et les 2000 derniers. Il faudrait 3000 km de papier pour l'écrire. On mettrait 11 ans pour l'écrire à raison d'un chiffre par seconde. Un 9 de plus: 9^9^9^9 Il faut 10^369 693 094 km de papier. Il faudrait la matière de millions d'univers pour écrire ce nombre à raison d'un atome par chiffre. Curieusement, on connaît les derniers chiffres: 1 045 865 289.	= 9 ^ 9 ^ 9 = 9 ^ (9 ^ 9) = 9 ^9 ^ 9 = 9 ^387 420 489 » 10 ^369 693 100 = 428 124 773 … 89 On ne connaît pas les chiffres centraux. Pour mémoire 9^99 = 2,951… 10^94

Suite en Grands nombres avec trois chiffres / Gogol

NOTATIONS

NOTATION: Exposant versus « Chapeau » des ordinateurs

Le chapeau (accent circonflexe) permet une écriture linéaire, sans superposition des exposants.

Exemple numérique
Notations littérales
a ^ b ^ c	a ^ (b ^ c)	(a ^ b) ^ c
Les puissances se calculent en priorité en partant du haut. De sorte que ces deux notations sont équivalentes. La pratique des parenthèses est conseillée, voire obligatoire pour les logiciels mathématiques.

Notation de Knuth

n étages

Voir Notation de Knuth

Voir Tétration (cas où b = a)

EXEMPLES

Exemples de calculs

Exposants	Chapeaux	Valeurs
a = 3^2	a = 3 ^ 2	= 9
b = a² = 9² = (3²)²	b = a^2 = (3^2)^2	= 81
c = 5^a = 5^9 = 5^3 ²	c = 5^a = 5^9 = 5^(3^2)	= 1 953 125

Avec des 3 – Notez la progression fulgurante

(3 ^ 3) ²		= 729
3² ^ 3 = (3.3) ^ 3		= 729
3 ^ 3 ² = 3 ^ (3.3)	= (3 ^ 3) ^ 3	= 19 683
	= 3 ^ (3 ^ 3)	= 7,6… 10^12 = 7 625 597 484 987

Notez l’égalité générale

(3 ^ 3) ^ 3
	= (3^3) . (3^3) . (3^3) = 3^3 . 3^3 . 3^3 = 3^3+3+3 = 3^9= 3^3²
		= 3 ^ (3 ^ 2)
(n ^ a) ^ a		= n ^ (a ^ 2)

Ou en notation avec exposants à étages

Voir Trois et cubes

PUISSANCES DE 10 et calculs sur les exposants

Valeur des puissances de dix selon les exposants On note que l'exposant simple est égal à la puissance nième de 2 On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut. Il s'agit ni plus ni moins que du développement de l'exposant du 10 initial On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut multiplié par l'exposant du bas (2) On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut multiplié par l'exposant du bas (10)

Voir Puissances de dix

Exemples de calcul (gogol puissance gogol)

Nombre à une puissance, chacun de ces nombres étant élevé à une puissance. Un passage par les logarithmes (décimaux) permet de se rassurer. Exemple de lecture du tableau avec k = 2 et N = 10². Le logarithme d'une puissance est tel que log a^b = b . log a. Ici: log 10² = 2 log 10 = 2 x 1 = 2, en prenant le logarithme en base 10. De même log N^N = N . log N = 10^2 x 2 = 200. En repassant aux nombres ordinaires: 200 est le logarithme en base 10 d'un nombre qu'il faut trouver. C'est 10^200. Le logarithme de 10^200 est bien 200. Maintenant que la mécanique du calcul est bien établie, nous pouvons calculer Gogol à la puissance Gogol (colonne de droite). Un 1 suivi de 10^102 zéros. Note: 100 x 10^100 = 10^2 x 10^100 = 10^2 + 100 = 10^102

Tableau de VALEURS
Exemple de lecture
Voir Calculs / Plus grand nombre avec trois chiffres Voir site: A054382

Réduction d'un étage
Dans certains cas, il est possible de réduire les étages d'un cran: Cette possibilité résulte de la règle: Exemple

Voir Application

ENGLISH CORNER
Nine to the ninth power, and Nine to the ninth to the ninth power Abbreviated as 9 to the 9 to the 9
The power tower of order k is defined as:	with k times a

Curiosité

Voir Racines à étages

Suite	Algorithme et programme avec puissance de 3 Calculs pratiques avec les exposants Calculs avec exposants négatifs et fractionnaires Division de puissances à étages en 2, 3 et 5 Multi-puissances Notation des très grands nombres Puissance de 6 Plus grands nombres avec des 1 Puissances de 3 et conjecture de Collatz Trois chiffres
Voir	Constantes Évolution des puissances de 2 Grands nombres avec 2 Grands nombres avec 3 et 9 Graphes, arbres et exposants Jeu des quatre 4 Progression géométrique Puissances – Index Puissances 4 Puissances de 10 Puissances et exposants
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