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Sommaire de cette page >>> TRANSFORMATIONS Transformation usuelles >>> TRANSLATION >>> SYMÉTRIE >>> ROTATION >>> HOMOTHÉTIE Propriétés >>> ISOMÉTRIE >>> BIJECTION

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Transformations usuelles

Changement de look - TRANSFORMATIONS

Parfois des choses mêmes simples nécessitent un peu de précision et les mathématiciens créent leur jargon dans ce but. Le plus souvent, la réalité derrière un mot étrange n'est pas bien compliquée; la seule chose qu'on demande à ce mot c'est la précision, la rigueur. Parfois, le mot possède un sens commun et un sens réservé en math. Le mot transformation fait partie de ces mots Sens commun: Je peux transformer ma petite maison en palace On transforme la matière première en produits finis On transforme un essai au rugby Etc. En maths, le mot transformation va désigner un ensemble d'opérations que l'on peut faire subir à des images ou des figures géométriques: On fait glisser le dessin à l'endroit voulu; On lui fait subir un effet miroir si l'on veut; On l'oriente comme on le souhaite; On ajuste la taille du dessin; Etc.

Avant transformation Après transformation Les transformations multiples du papillon sur la feuille de papier (Aussi, au sens courant: la chenille devient chrysalide et se transforme en papillon)

Glissement - TRANSLATION

Une transformation simple d'un dessin en un autre consiste à le faire glisser sur la feuille. Le patineur glisse sur la piste. On a ajouté une flèche qui témoigne du sens. La longueur de la flèche peut aussi refléter la distance parcourue durant une glissade. En maths une telle glissade est appelée translation. La figure obtenue par translation (glissade) est appelée l'image du dessin d'origine. On utilise aussi une flèche pour caractériser la translation; c'est un vecteur. Pour être précis le vecteur met en correspondance un point origine (ici le nez) et son point image (toujours le nez). Le nez, et avec lui toute la figure, a été translaté dans la direction et le sens de la flèche et selon la distance représentée par le vecteur. Un seul vecteur représentatif suffit pour définir la translation; tous les autres points subissent la même translation du même vecteur

Deux glissades: une courte et une plus grande La figurine a été translatée selon la flèche en bleu Translation de vecteur

Suite en Translation

Réflexion – SYMÉTRIE par rapport à une droite

Lorsque je regarde une image dans un miroir, elle retournée d'une manière particulière: les parties proches du miroir restent proches du miroir; et Les parties les plus éloignée restent les plus éloignées. Il existe plusieurs manières d'obtenir une telle image sur le papier (en maths, on dit dans le plan). Je peux décalquer l'image, retourner le papier calque, et reproduire ce dessin retourné. Sur l'ordinateur, j'utilise l'outil "faire pivoter". Je peux aussi construire le dessin point à point. Je prends un dessin et son image-miroir, et j'observe comment un point est transformé en son image. Le segment AA' croise le miroir, symbolisé par la droite D, au point I. Le point I est situé à égale distance de A et de son image A'. Le segment AA' est perpendiculaire au miroir, à la droite D. Même chose pour les autres couples de points.

Queue – Corps – Tête |miroir| Tête – Corps – Queue Chaque point d'un couple est à égale distance du miroir Symétrie par rapport à une droite

Suite en Symétries

ROTATION par rapport à un point

Dans une journée de 24 heures, la petite aiguille de l'horloge fait deux tours. Sur cette illustration, il est 1h00 sur l'horloge de gauche et 7h00 sur celle de droite. La petite aiguille à fait un demi-tour. Voyez ce bout de carton en forme de flèche sur laquelle est imprimée une clé de sol. Je place une punaise; Je tourne la flèche autour de la punaise d'un certain angle; La clé de sol fait le voyage avec la languette et se retrouve inclinée du même angle; Nous venons de faire subir une rotation à la flèche comme à la clé de sol. La rotation est définie par un point ou centre de rotation; et un angle de rotation.

En six heures, la petite aiguille effectue une rotation d'un demi-tour Rotation par rapport à un point

Suite en Rotation

Zoom - HOMOTHÉTIE

Il s'agit ici de transformer un dessin ou une image en l'agrandissant ou en le réduisant. Les photographes parlent de zoom; il suffit de régler l'objectif à l'aide d'une petite manette pour rapprocher une image lointaine et, en fait, l'agrandir sur ma photo. Sur les ordinateurs, il est possible de regarder des photos et d'en ajuster la taille à l'aide d'un outil appelé: zoom-avant et zoom-arrière. Sur l'ordinateur, les outils de dessin vous permettent de changer la dimension d'un dessin en tirant sur les poignées signalées autour du dessin. Nous pouvons choisir la taille à volonté: Agrandir d'un facteur 2 Réduire d'un facteur 2, ou agrandir d'un facteur ½ . Etc. En tout ca, tout le dessin est transformé dans la même proportion. Pour construire une telle transformation, dite homothétie, il faut choisir: un centre d'homothétie; et un rapport d'homothétie.

Bouquet de ballons plus ou moins gonflés Taille ½ Taille 1 Taille 2 Homothéties de centre 0 et de rapports ½ et 2

Suite en Homothétie

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Propriétés des transformations

Égalité - ISOMÉTRIE

Les transformations sont des opérations qui donnent une image d'un dessin initial. Nous avons vu la translation, la rotation, la symétrie et l'homothétie. Des mots pas très simples! En voici un nouveau, mais d'un autre genre: isométrie. Il qualifie toutes ces transformations. En gros, il dit: l'image est kif-kif pareille que le dessin initial; mais restons précis. D'où ce mot spécifique: isométrie. Isométrie veut dire que toutes les distances sont conservées et, en conséquence, toutes les propriétés de la figure initiale se retrouvent dans l'image. Translation, rotation et symétrie sont des isométries L'homothétie n'en et pas une Ce mot vient du grec: iso (pareil, égal) métrie (mesure).

Ces deux figures sont isométriques Le rectangle reste rectangle Le triangle reste un triangle Le cercle reste un cercle Le cœur reste un cœur Les parallèles restent des parallèles Les angles droits restent des angles droits Les longueurs sont conservées

Suite en Isométrie

Couple - BIJECTION

Toute personne en France dispose d'un numéro de sécurité sociale à treize chiffres. Celui des hommes commence par 1 et celui des femmes par 2 … Ce numéro est propre à chacun. Et avec ce numéro, on retrouve la personne. On aurait pu prendre le cas des plaques d'immatriculation des voitures: une voiture possède son numéro et pour un numéro il y a une voiture et une seule. Lorsqu'une transformation mathématique établit ce genre de relation, c'est une bijection. Tous les points M' de l'image ont un antécédent M dans le dessin d'origine. Deux points distincts (M et N) du dessin d'origine ont des points-images distincts (M' et N'). La transformation qui fait revenir au dessin d'origine est la transformation réciproque, notée T^-1 Exemple: la rotation d'origine O et d'angle 30°; sa transformation réciproque est la rotation de même origine et d'angle -30° (rotation du même angle, mais en sens inverse; en marche arrière).

Chaque personne a un numéro de sécurité sociale. À chaque numéro de sécurité sociale correspond une personne. Tout point M' a un seul antécédent: un point M Tout point M a une seule image: un point M' La transformation f est bijective Toutes les transformations vues ci-dessus sont bijectives.

Suite en Bijection

Pourquoi tout cela ?

Remarquez que, finalement, nous avons trois "objets": le dessin d'origine, le dessin-image et la transformation. Si nous connaissons les propriétés de deux d'entre eux, nous connaissons automatiquement les propriétés du troisième. Par exemple, la transformation est une rotation; trois points sur le dessin d'origine sont alignés; eh bien, sur l'image, ils seront aussi alignés.

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Voir	Symétrie – Débutant Transformation – Glossaire
Aussi	Transformations DicoMot Débutants
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