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Débutant DicoMot DicoNombre	BIJECTION ou APPLICATION BIJECTIVE

Rappel: APPLICATION

Une application est une relation entre deux ensembles E et F telle qu'à chaque élément de E corresponde un élément de F unique, appelé image.

Si la relation est de E dans E (donc sur lui-même), la relation est appelée transformation.

Voir DicoMot

Nous allons nous intéresser à des points M dont les images sont des points P à travers une application f.

Nous considérerons la couverture du domaine des M par rapport à celle du domaine des P selon qu'un point M réussit à atteindre: zéro, un ou plusieurs points P.

Notes

- Une application (et une transformation) est bijective: un point image correspond à un seul antécédent et réciproquement.

- Si après transformation, le dessin "reste sur place", nous avons à faire à la transformation identité.

- La transformation qui fait revenir un dessin transformé dans sa version initiale est l'application réciproque.

- Si après transformation appliquée deux fois, le dessin revient à sa place, l'application (la transformation) est involutive; elle est sa propre réciproque.

Approche

Plusieurs points P peuvent être créés à partir d'un point M. Ce cas n'est pas intéressant! Nous intéressons effectivement aux cas où nous transformons tous les points M en point(s) P.

Mais une image P peut être créée à partir de différents points M. Nous pouvons également avoir le cas où un point P n'a pas d'antécédent M.

Voir Bijection – Débutant

Cas possibles Rappel: Tout point M a au moins une image P	Cas où il reste des P orphelins INJECTION Les M sont injectés dans le domaine des P, mais ne le couvre pas forcément complètement. Si M1 et M2 sont deux points identiques, alors leurs images sont identiques. Si M1 et M2 sont deux points différents, alors les deux images sont différentes.	Cas où tous les P ont un ou plusieurs antécédents SURJECTION Les M sont en surnombre pour couvrir le domaine des P. À tout point P du domaine d'arrivée F, il existe un point M, au moins, du domaine de départ E, tel que le point P est la transformée du point M.
	L'application est: injective si l'ensemble de départ est surjective si l'ensemble d'arrivée est
	Cas où chaque P a un seul antécédent BIJECTION = INJECTION + SURJECTION Les M sont en bon nombre dans leur domaine pour couvrir exactement le domaine des P. À tout point P du domaine d'arrivée F, il existe un point M, UNIQUE, du domaine de départ E, tel que le point P est la transformée du point M, et réciproquement:

Exemples	Sont en bijection: Une tarte coupée en 6 parts alors que la famille compte 6 personnes; chacun a sa part et il y a une part pour chacun. L'ensemble des abonnés au téléphone et les numéros attribués. Les pièces d'un puzzle et leur position sur le tableau. Les élevés d'une classe et leur place attribuée en début d'année. La majorité des pièces de construction d'une voiture. Tous les points d'un dessin décalqué. Tous les points d'une image réfléchie dans un miroir. Tous les points d'une photo agrandie, zoomée. Les coordonnées d'une droite y = ax + b; à chaque x un y et à chaque y un x. Contre-exemples: Les places d'un parking; chaque place verra de multiples usagers. Les places au cinéma; pour la même raison. Les racines carrées et leurs deux solutions, positives et négatives ).
Définition	Bijection ou transformation bijective: une transformation T de (E) dans (E) est dite bijective, si, et seulement si, pour tout P de (E), il existe un point M de (E) et un seul, tel que T(M) = P On aurait la même définition pour, plus généralement, une application en donnant F comme ensemble d'arrivée. Bijection ou fonction bijective: Soit f une application de E dans F. f est bijective si et seulement si qui se lit: quelque soit y de (F), il existe un unique x de (E) tel que f(x) égal y.
Propriétés	Une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont (étaient) aussi appelées des applications biunivoques. Toutes les transformations sont des bijections d'un espace sur lui-même.

Anglais	A bijection, or a bijective function is a function f from a set X to a set Y with the property that, for every y in Y, there is exactly one x in X such that f(x) = y Alternatively, f is bijective if it is a one-to-one correspondence between those sets; meaning that a bijection is both one-to-one (injective) and onto (surjective).
En savoir plus	Voir suite en cliquant sur les mots de l'en-tête Géométrie – Index Éléments de géométrie Ensemble des nombres Ensembles finis et infinis Vocabulaire de ce domaine
Site	Transformations - Wikipédia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosB/Bijectio.htm