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NOMBRES de CULLEN

Les nombres de Cullen et les nombres de Woodall (Cullen du second type) sont majoritairement composés. Depuis leur découverte en 1905, on ne connait que seize nombres premiers de Cullen.

Anglais: Woodall numbers and Cullen Numbers

Nombres de Cullen

Famille	Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers … / Types de nombres premiers et cousins / Woodall
Définitions	NOMBRES PREMIERS DE CULLEN Nombre premier de la forme Cn = n ^.2^n+ 1 n est un nombre entier supérieur à 0.
Exemples	3 = 1 x 2^1 + 1 9 = 2 x 2^2 + 1 25 = 3 x 2^3 + 1
Historique	Introduit en 1905 par le père Cullen (1867-1933). Mentionné dans un livre de Guy. En 1976, Hooley montre qu'ils sont presque tous composés.
Divisibilité	Pour tout entier premier p différent de 2, il existe une infinité d'entiers n tels que p divise le nombre de Cullen d'indice n (Cn). Si p est un nombre premier alors, l'un de ces nombres de Woodall est divisible par p: W(p + 1)/2 ou W(3p – 1)/2 selon que le symbole de Jacobi est égal à + 1 ou à -1, respectivement.
Premier	Hormis 3, le premier nombre premier de Cullen est atteint pour n = 141: C141 = 39305 0634124102 2328695670 3455542737 1542904833 = 0,39… 10^45 Le suivant apparaît pour n = 4713 et vaut 0, 2677… 10^1423. Les suivants 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … Bien que rares, on conjecture qu'il existe une infinité de nombres de Cullen premiers. 141 x 2^141 + 1 est le seul nombre de Cullen premier pour n compris entre 2 et 1000, découvert par Robinson en 1958. Sa valeur: 0,35 10^45 = 393050634124102232869567034555427371542904833 6 649 881 x 2^6 649 881 + 1 = 2,3618… 10^2 010 851 est un nombre premier de Cullen avec plus de deux millions de chiffres (2009, PrimeGrid).

Liste – les 20 premiers
Les vingt premiers Remarquez que les nombres en rouge sont premiers et qu'ils se retrouvent dans les facteurs des deux nombres précédents. C'est une propriété générale.
Les 16 premiers nombres PREMIERS de Cullen Cn pour n prenant les valeurs indiquées => Ce sont les seize connus actuellement. Leur recherche a dû attendre l'arrivée des ordinateurs. Le plus grand, découvert en 2009, compte plus de deux millions de chiffres.		3, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … ?

Nombres de Cullen – Propriétés

Divisibilité	Pour tout entier premier p différent de 2, il existe une infinité d'entiers n tels que p divise le nombre de Cullen d'indice n (Cn). Si p est un nombre premier (sauf 2), alors: Cp – 1 et Cp – 2 sont divisibles par p. Ex: p = 5 alors: C3 = 25 et C4 = 65 Voir Nombres en rouge dans le tableau
Premier	Hormis 3, le premier nombre premier de Cullen est atteint pour n = 141: C141 = 39305 0634124102 2328695670 3455542737 1542904833 = 0,39… 10^45 Le suivant apparaît pour n = 4713 et vaut 0, 2677… 10^1423. Bien que rares, on conjecture qu'il existe une infinité de nombres de Cullen premiers. On ignore si n et Cn peuvent simultanément premiers. 141 x 2^141 + 1 est le seul nombre de Cullen premier pour n compris entre 2 et 1000, découvert par Robinson en 1958. Sa valeur: 0,35 10^45 = 393050634124102232869567034555427371542904833 6 649 881 x 2^6 649 881 + 1 = 2,3618… 10^2 010 851 est un nombre premier de Cullen avec plus de deux millions de chiffres (2009, PrimeGrid).
Récurrence	Cn = 4 (Cn–1 – Cn–2) + 1 Ex: C4 = 4 (C3– C2) + 1 = 4(25 – 9) + 1 = 65
Somme	Ex: C1 + C2 + C2 + C4 = 2 x 3 x 2^4 + 4 + 2 = 102 = 3 + 9 + 25 + 65 = 102

Quantité de chiffres
La quantité de chiffres dans un nombre de Cullen peut être déterminée à un près en prenant le logarithme du nombre (on ignore le 1 final): Q2 = log10 (n . 2^n + 1) Q1 = log10 (n) + n . log10(2) Le tableau montre les valeurs de Cn pour n de 100 à 120, valeurs sous la forme 0,3e33 qui veut dire 0,3 10^33 soit (colonne 2), une quantité de chiffres exactement égale à 33. Les deux colonnes de droites indiques les valeurs trouvées en calculant les logarithmes (approchés pour Q1 et exacts pour Q2). Notez qu'en prenant la valeur plafond de Q1 ou Q2, on retrouve la quantité exacte.

Chiffre des unités et suivants
Liste des unités des cent premiers nombres 3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1, 3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1, 3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1, 3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1, 3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1 … Répétitives sur un cycle de 20 Note que tous les Cullen sont impairs (évidemment).
Le cycle se répète sur les dizaines, les centaines, etc. Précaution: ne pas compter les k premiers nombres pour observer le cycle.	C(U) = 20 C(DU) = 100 C(CDU) = 500 C(MCDU) = 2500 etc. C(k chiffres) = 4 x 5^k

Suite	Types de nombres premiers – Index Nombres premiers records
Voir	Place de ces nombres parmi les autres premiers Records
Site	OEIS A002064 – Cullen numbers OEIS A005849 – Cullen prime numbers Cullen primes – Top twenty – Caldwell Divisibility of Cullen Numbers – James Cullen - 2005
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremCull.htm