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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Multiplication en neuf 9 >>> Carré des repdigits >>> Magie expliquée >>> Formalisation >>> Extension aux produits de repdigits >>> Extension au-delà de 9

MULTIPLICATIONS

originales en pyramides

Calculs de carrés avec une disposition originale de la multiplication. Quelque chose d'esthétique et de magique.

Rappel: un repdigit est un nombre formé du même chiffre répété, comme 22, 777, 5555 …

Approche
Voyez les deux manières d'opérer la multiplication de 999 par 999. La méthode classique nécessite de faire des multiplications intermédiaires par 9. Dans la méthode pyramide, il suffit de poser des 9 en triangle (ou pyramide) et faire la somme. Cette méthode n'épargne pas, néanmoins, de faire une multiplication finale par 9. Est-ce que ça marche toujours?

Multiplication en neuf 9

Nous disposons, a priori, la multiplication de 999 999 999² en pyramide. Notez que le premier 9 est situé juste au dessous du dernier 9 du multiplicateur ; le dernier neuf de la dernière ligne est en face du 9 des unités du multiplicateur. Bingo, ce résultat est juste! Si m = 10 000 000 000, alors 999 999 999² = (m – 1)² = m² – 2 m + 1 = 10 000 0000 000² – 20 000 000 000 + 1 = 999 999 998 000 000 001. Est-ce un effet du neuf et ses nombreuses propriétés?

Carré des repdigits
À voir ces exemples, c'est bien parti! Le calcul du carré des repdigits semble pouvoir se présenter sous cette forme pyramidale.

Magie expliquée
Encore un effet de numération décimale et ses puissances de 10. Voyons cela: On commence par diviser le produit par le chiffre du repdigit. Ici l'un des 33 est divisé par 3. Une première astuce consiste à regrouper des termes qui lorsqu'ajoutés donneront un repdigit. Ici 300 + 30 + 3 = 333. Ce sera plus visible avec ce nouvel exemple à trois chiffres.

Formalisation
Nous voyons bien comment se forme la pyramide. Nous pourrions nous dire, pourquoi diviser par 2 au début. Le développement donnerait directement la solution sans avoir besoin de faire une multiplication finale. En fait, dès le chiffre 4, dont le carré est 16, apparaît une retenue qui empêche la formation du repdigit. Par ailleurs, c'est plus esthétique de placer le même chiffre dans la pyramide.
À cette condition, conserver le chiffre des repdigits, le carré des repdigits est toujours présentable sous la forme pyramide.

Extension aux produits de Repdigits
En notant bien le principe de formation de cette multiplication en pyramide, nous voyons qu'il est possible de l'étendre aux produits de repdigits entre eux. Nous avons même la liberté de choisir entre les deux types de repdigits. Voici le calcul détaillé:

Extension au-delà de 9
La méthode continue à fonctionner en remplaçant les chiffres du repdigit par des nombres. Comme ici, FFF est remplacé par 121212, un nombre ondulant. Cependant, il faut prendre garde à ajouter des chiffres compatibles (voir exemple ci-contre, partie jaune). Les 12 sont ajoutés convenablement pour donner 1331. Bien entendu, l'esthétique disparaît. Or c'était le principal intérêt.

Bilan

Le carré d'un repdigit (R_F) peut toujours se présenter sous la forme esthétique d'une pyramide (en fait, de triangle) rempli du digit F.

La méthode est extensible au produit de repdigits entre eux.

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