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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Approximations successives >>> Calcul >>> Représentation graphique >>> Formule de récurrence >>> Calcul de Newton

MÉTHODE DE NEWTON

Comment trouver la racine d’une équation ?

Plusieurs méthodes :

résoudre l’équation algébriquement,

dessiner le graphe de l’équation,

trouver des approximations successives,

etc.

C’est cette dernière voie que Newton a explorée.

C’est la méthode dite aussi de la TANGENTE.

Voir la formule.

Approche

Visualisons quelques courbes simples, et

Remarquons les points d’intersection avec l’axe des x.

Courbes

y = k . x² – x

Visualisation des racines de

kx² – x = 0

On lit la valeur des racines

lorsque les courbes coupent l’axe des x.

On note:

Équation du 2^e degré: 2 racines.

Équations	Racines
x² – x = 0	0	1
2x² – x = 0	0	0,5
3x² – x = 0	0	0,333…

Approximations successives
Idée Je ne connais pas la racine x, mais, Je sais qu’elle est voisine de r. L’écart est donc : x – r = e ou x = r + e	Simple ! Je remplace x par sa nouvelle valeur et, Astuce ! ! ! Je calcule en négligeant les tous petits écarts.

Exemple

	Numérique	Algébrique
Équation	3x² – x = 0	3x² – x = 0
Racine approximative	r = 1	r
Avec	x = 1 + e	x = r + e
On remplace x par sa nouvelle valeur	3 (1 + e)² – (1 + e) = 0 3 + 6 e + 3 e² – 1 – e = 0 3 e² + 5 e + 2 = 0	3 (r + e)² – (r + e) = 0 3r² + 6 re + 3 e² – r – e = 0 3 e² + e(6r – 1) + 3r² – r = 0
Ah ! une équation du 2^e degré ! Certes, mais e est petit ; Et e² encore plus petit ; On néglige	5 e + 2 = 0 e = – 2/5 = – 0,4	e = – (3r² – r) / (6r – 1)
On avait donné comme racine approximative r = 1 avec e comme erreur On vient d’estimer une valeur approximative de e avec une erreur e1	x = r + e = 1 + e = 1 – 0,4 + e1 = 0,6 + e1	x = r – (3r² – r) / (6r – 1)
Remplaçons, à nouveau, cette valeur approchée de x dans l’équation de départ	3 (0,6 + e)² – (0,6 + e) = 0 1,08 + 3,6 e + 3 e² – 0,6 – e = 0 3 e² + 2,6 e + 0,48 = 0
Nouvelle valeur de e, valeur approchée, car nous allons encore négliger e²	2,6 e + 0,48 = 0 e = – 0,48 / 2,6 = – 0,18
Deuxième valeur approchée de la racine	r2 = 0,6 – 0,18 = 0,42	r2 = r1 – (3r1² – r1 ) / (6r1 – 1)

Voir Équation du second degré

CALCUL

On vient de voir la mécanique des approximations successives. On a même une formule de récurrence.

Voyons le résultat de la méthode:

Trouve-t-on la racine ?

Faut-il beaucoup d’itérations ?

Quelle est l’importance de la valeur de la racine initiale ?

Racine approchée

et écart avec la racine exacte

Itération	Racine	Écart
1	0, 60000	0,3
2	0, 41538	0,08
3	0, 34687	0,01
4	0, 33384	0,000 5
5	0, 33333	0,000 000 8

Après 5 itérations, on obtient une précision de 10^-6.

Vitesse de convergence

en fonction de la racine initiale (semence)

Itération	Écart
	r = 1	r = 0,5	r = 0,3
1	3	10^-1	10^-2
2	10^-1	10^-2	10^-4
3	10^-2	10^-4	10^-8
4	10^-3	10^-8	10^-15
5	10^-6	10^-15	10^-20
6	10^-11	10^-19
7	10^-19

Évident ! Plus la racine initiale est proche de la valeur exacte, plus la convergence est rapide.

Représentation graphique

Graphe La courbe en bleu donne le graphe de 3x² – x On montre les racines approchées successives 1 ; 0,6 ; 0,42 ; 0,34 et les valeurs de y correspondantes. La principale chose à remarquer : Chaque fois que l’on a calculé une nouvelle racine approchée,on négligé le second ordre (terme en e²). On a conservé les termes du premier degré (en e). On sent qu’il y a de la dérivée de fonction là dedans, de la tangente… En fait, avec la valeur x = 1, on a trouvé : Une valeur de y = 2 et un écart de 0,4. Explications L’hypoténuse de ce triangle rectangle à une pente de 2 / 0,4 = 5. Or la courbe de départ étant : y = 3x² – x , sa dérivée est y’ = 6x – 1 Et la valeur de la dérivée en x = 1 est égale à 5. => Cette hypoténuse est la tangente à la courbe en ce point. Vu autrement À chaque nouvelle itération, on tient compte du triangle jaune sous la courbe ; on néglige l’espace restant en blanc sous la courbe.

Formule de récurrence

À la lumière de cette observation, rapprochons :

La fonction	y = 3x² – x
Sa dérivée	y’ = 6x – 1
Et la formule de calcul trouvée

Soit la formule de récurrence:

Voir Calcul et programmation pour la racine cubique

Calcul de Newton
Newton a fait connaître sa méthode (vers 1670) en utilisant la fonction y = x^3 – 2x – 5 et la racine initiale 2.

Résolution

	Numérique	Algébrique
Équation	x^3 – 2x – 5 = 0	x^3 – 2x – 5 = 0
Racine approximative	r = 2	r
Avec	x = 2 + e	x = r + e
On remplace x	(2+e)^3 – 2(2+e) – 5 = 0 e^3 + 6e² 12 e + 8 – 4 –2 e – 5 = 0 e^3 + 6e² + 10 e – 1 = 0	(r+e)^3 – 2(r+e) – 5 = 0 e^3 + 3re² + 3r²e + r^3 – 2 e – 2r – 5 = 0 e^3 + 3re² + (3r²-2)e + r^3 – 2r – 5 = 0
On néglige degré > 1	10 e – 1 = 0 e = 0,1	(3r²-2)e + r^3 – 2r – 5 = 0 e = – (r^3 – 2r – 5) / (3r²-2)
Valeur approximative de e avec une erreur e1	r1 = r + e = 2 + e = 2 +0,1 + e1 = 2,1 + e1	r1 = r – (r^3 – 2r – 5) / (3r²-2) = r – y / y’

Calcul

Itération	Racine
1	2, 10000000000000000000000000000
2	2, 09456812110418521816562778272
3	2, 09455148169819930288382370354
4	2, 09455148154232659149606484715
5	2, 09455148154232659148238654058

Voir Équation du troisième degré

Voir aussi	Algorithme de Héron Calcul de racine de deux
Voir	Algorithme de Héron Algorithmes Calcul des carrés Calcul mental Équation - Glossaire Exemple par Wallis Fibonacci Jeux Multiplications védiques Newton Résolution des équations Théorie des nombres
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