Résolution du triangle LLL, trois côtés

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	Formules	Trois angles (AAA)	Deux côtés (LLA)	Un côté (AAL)
		Sommaire de cette page >>> Méthode pour le triangle quelconque >>> Exemple >>> Résolution LLL en coordonnées cartésiennes >>> Triangles rectangle >>> Triangle isocèle >>> Triangle équilatéral >>> Deux longueurs ajoutées = la troisième >>> Triangle avec côtés en nombres consécutifs >>> Tableau d'exemples >>> Exemple algébrique

Résolution LLL des triangles

Cas où la longueur des trois côtés est connue.

La loi des cosinus permet de calculer la valeur des angles.

Exemples de calculs.

Énigme

Solution

Angles du triangle LLL

Si on connait la longueur des côtés du triangle, on connait son aire en utilisant la formule de Héron.

Bonus, on connait aussi les angles par la formule de l'aire:

Voir Exemple d'application dans le défi des trois cercles tangents

Méthode pour le triangle quelconque

La loi des cosinus, appliquée deux fois, nous donne la mesure de deux des trois angles.

Le troisième est déduit de la somme égale à 180°.

Exemple: LLL = {14, 12, 10}
Le triangle est connu par la longueur de ses trois côtés: 14, 12, 10 carreaux.
Loi des cosinus pour l'angle en A	A = Arccos (0,714 ) = 44, 415… °
Loi des cosinus pour l'angle en B	B = Arccos (0,844 ) = 57, 122… °
Le troisième angle Le calcul ave la loi des cosinus donnerait le même résultat	C = 180 – 44,415 – 57,122 = 78,463 … ° B = Arccos (0,2 ) = 78,463… °
Utilisation de la calculatrice de votre ordinateur. 48/240 donne 0,2. Appuyer sur Inv, puis sur cos pour avoir l'arccos (ou cos^-1). Ayant sélectionné le mode degré, le résultat est directement affiché en degrés.
Calcul de l'aire avec la formule de Héron, s étant le demi-périmètre. Notez la beauté du carré (3456).	s = ½ (10 + 12 + 14) = 18 A² = s (s – a) (s – b) (s – c) A² = 18 x 8 x 6 x 4 = 3 456 A = 58,787

Résolution LLL en coordonnées cartésiennes
Problème Le triangle ABC est connu par la longueur des trois côtés (a = 3,6; b = 6,4 et c = 7,07). Il est positionné dans le plan par la donnée de deux de ses sommets A (-3, 1) et B (4, 2). Trouvez les coordonnées du troisième sommet C. Figure Elle est construite a priori, en connaissant les coordonnés des trois points. On a calculé les longueurs a, b et c avec le théorème de Pythagore. Ceci, afin de pouvoir vérifier les résultats du calcul. Méthode 1. On calcule l'angle A, composé de deux angles dont l'un est un angle du triangle. On le calcule à l'aide de la loi des cosinus. 2. AC est la diagonale d'un rectangle dont on calcule les dimensions. Ce sont les coordonnées de C par rapport au point A. 3. Calcul des coordonnées de C à partir de l'origine des axes. Calculs
Loi des cosinus pour l'angle CAB = A1	cos A1 = (b² + c² − a²) / 2bc = (6,4²+7,07²-3,6²) / 2 x 6,4 x 7,07 = 0,862… A1 = 0,532… rad = 30,48…°
Angle BACx = A2	tan A2 = 1/7 = 0,1428… A2 = 0,1419… = 8,13 °
Angle CACx = A	A = A1 + A2 = 0,674… = 38,62…°
Longueur de CCy	CCy = b cos(A) = 6,4 x 0,781 … = 5,00…
Abscisse du point C	x de C = 5 + (-3) = 2
Longueur de CCx	CCx = b sin(A) = 6,4 x 0,624 … = 3,99..
Ordonnée du point C	y de C = 4 + 1 = 5

Triangle rectangle

Seule la connaissance de deux côtés suffit puisque nous connaissons un des angles, l'angle droit.

Ce cas est un cas particulier des cas LAL ou LLA.

Dans le cas où trois côtés seraient donnés, il faudrait vérifier que a² + b² = c² pour être sur que le triangle est rectangle.

Dans le cas de ce triangle rectangle, un côté est le double de l'hypoténuse. Les deux autres angles sont égaux à 30° et 60°.

On vérifie que 10² – 5² = 75 et sa racine vaut 8,66025…

Aire = 21,6506…

Triangle isocèle

Cas particulier de notre cas LLL avec deux côtés de même longueur. La loi des cosinus n'est à appliquer qu'une seule fois.

Notez comment se simplifie la formulation de la loi du cosinus.

A = B = Arccos (0,75 ) = 41, 4096… °

Aire = 49,6078…

Voir Triangle 456 avec angle de 41,41°

Triangle équilatéral

Dans ce cas, il suffit d'une seule mesure: la longueur du côté.

Aire = 15,5884…

Deux longueurs ajoutées = la troisième

Exemple avec triangle 347

L'inégalité triangulaire nous apprend que la somme de deux longueurs ne peut pas être inférieure à la troisième.

Si la somme est égale au troisième côté, le triangle est réduit à un segment de longueur égale à 7.

Cas du triangle 123.

La somme de deux côté est égale au troisième. Le triangle est réduit à un segment de longueur égale à 3.

C'est un triangle dégénéré en segment.

L'angle en C est un angle plat et les deux autres sont nuls.

Trois côtés de longueurs consécutives
On connaît le triangle rectangle remarquable de côté 3, 4 & 5. Ici, on cherche, un triangle dont les côtés sont des nombres entiers consécutifs (a – 1, a et a + 1) et dont un angle est le double du plus petit (alpha). Résolution
Loi des sinus
Calcul Identité trigonométrique
Bilan
Loi des cosinus
Calcul
Égalité entre les deux valeurs du cosinus
Calculs	(a + 1)² a² + 2a + 1 2a + 1 a	= (a + 4) (a – 1) = a² + 4a – a – 4 = 4a - a - 4 = 5
Solution	b = a – 1 a c = a + 1	= 4 = 5 = 6
Extraordinaire	Le triangle 4, 5 & 6 est remarquable. Il a un angle double de l'autre. Quelle est sa valeur ?
Valeur des angles et calcul de l'aire	= Arccos (0,75) = 41,4096… ° = 82,8192 …° Aire = 9,92156…

Quelques exemples

Exemple algébrique – 120°
Célèbre exemple où l'on donne les longueurs des côtés sous forme algébrique.		a = x² + x + 1 b = 2x + 1 c = x² – 1
Démontrer que l'un des angles vaut 120°
Nous allons appliquer la loi des cosinus		cos 120° = -1/2
Commençons par le premier angle
Les deux autres	Ces formes conduisent à des angles non remarquables
Variations avec x