les nombres et leurs structures de groupe

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/06/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES & GROUPES,

anneaux et corps

(structures algébriques des ensembles)

Propriétés des nombres accompagnés des opérations.

Bilan également avec polynômes, matrices et fonctions.

Structures algébriques

Groupe (G, x) ou (G, )

Définition

Un ensemble (G) et une opération (+ ou x), notée avec un petit rond.

L'opération est associative (a x b) x c = a x (b x c).

Éléments neutre unique e : a x e = e x a.

Inverse unique a^-1: a x a^-1 = a^-1 x a = e.

Types

Abélien si l'opération est commutative.

Anneau (A, +, x) ou (A, +, )

Approche

Un ensemble d'objets, comme des nombres, dont les éléments peuvent s'ajouter, se soustraire et se multiplier, est appelé un anneau s'il est stable par ces opérations, autrement dit si toute somme, différence ou produit de deux éléments est encore dans l'ensemble.

L'ensemble des entiers relatifs est un anneau.

Quand on a trois opérations: l'addition, la soustraction et la multiplication, vérifiant les propriétés habituelles, on dit que les nombres qu'on utilise constituent un anneau.

Définition

Un ensemble (A) et deux opérations (+ et x).

Avec l'addition le groupe est abélien dont l'élément neutre est 0, appelé le zéro de l'anneau.

La multiplication est associative: (a x b) x c = a x (b x c).

           La multiplication est distributive par rapport à l'addition:
         (a + b) x c = a x c + a x b
        a x (b + c) = a x b + a x c

Types

Commutatif si la multiplication est commutative.

Unitaire si la multiplication a un élément neutre 1, appelé unité de l'anneau.

Corps (K, +, x) ou (K, +, )

Définition: le corps est un anneau amélioré

Un ensemble K, anneau unitaire

L'ensemble avec la multiplication, privé du 0, est un groupe

Types

Commutatif si la multiplication est commutative.

Anglais: Group_Groupe, Ring_Anneau and Division ring or Field_{Corps commutatif} when commutative

Voir Corps et ses sous-ensembles

ENSEMBLES
	Entiers naturels; Entier non négatifs (0, 1, 2 …)
* ou	Entiers positifs (1, 2 …) sans le 0.
	Entiers positifs et négatifs (… -2, -1, 0, 1, 2 …)
	Ensemble des restes (résidus) de la division par n
	Décimaux
	Rationnels
	Réels
	Complexes
	Un des ensembles: Z, Q, R ou C
	Un des ensembles: Q, R ou C ( Z non compris)
	Polynômes dans Z, Q, R ou C
M	Matrices dans Z, Q, R ou C
F	Fonctions dans R
Notes:	Un ensemble noté avec astérisque (*) est un ensemble privé du 0: L'opération "multiplication" est notée x ou ou encore ou .

Voir Ensembles de nombres

GROUPE ou non _{(notations avec les lettres classiques)}
Ensembles	Opération	Groupe	Neutre	Symétrique*	Abélien
N	+	Non		(n'existe pas)
Z	+	Oui	0	–a	Oui
Z_n	+	Oui	0	–a mod n	Oui
Q	+	Oui	0	–a	Oui
R	+	Oui	0	–a	Oui
C	+	Oui	0 + 0 .i	–a – i.b	Oui
K(x)	+	Oui	0		Oui
M	+	Oui	Matrice nulle		Oui
F	+	Oui	Fonction nulle
N	x	Non		(n'existe pas)
Z ou Z*	x	Non		(n'existe pas)
Z_n*	x	Non		(n'existe pas)
K(x)*	x	Non
Q ou R ou C	x	Non		(0 n'est pas inversible)
P*	x	Non
M*	x	Non
Q* ou R*	x	Oui	1	1/a	Oui
C*	x	Oui	1	1/z	Oui
F*	x	Oui	Fonction constante
(E)		Oui	Ensemble des permutations de E

Remarques

* Le symétrique s'appelle opposé pour l'addition et inverse pour la multiplication.

Les deux ensembles avec la multiplication (N, x) et (Z, x) ne sont pas des groupes car, dans ces ensembles, un nombre n'a pas d'inverse.

Il faut englober les fractions de Q ou R pour avoir les inverses des nombres 1/a (Ex: a = 2 => inverse =1/2 =0,5).

ANNEAU
Un anneau est un ensemble tel que l'addition, la soustraction et la multiplication produisent des résultats dans le même ensemble. On dit que l'ensemble est stable pour ces opérations.
Ensembles	Opérations	Anneau	Commentaires
Z	+ , x	Oui	Les ensembles (Z,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires. L'anneau des entiers.
K	+ , x	Oui	Les ensembles (K,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.
K (x)	+ , x	Oui	Les ensembles (K(x) ,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.
M	+ , x	Oui	Les ensembles (M ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.
F	+ , x	Oui	Les ensembles (F ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.
	+ , x	Oui	Entiers algébriques.
Z[i]	+ , x	Oui	Entiers de Gauss.
	+ , x	Oui	a + b

Voir Anneau commutatif Z/mZ

CORPS
Un corps est un ensemble tel que l'addition, la soustraction, la multiplication ET la division produisent des résultats dans le même ensemble. On dit que l'ensemble est stable pour ces opérations.
Ensembles	Opérations	Anneau	Commentaires
Z	+ , x	Non
R*	+ , x	Oui	Le corps des réels.
K'	+ , x	Oui	Les ensembles (K',+, x) sont des corps commutatifs.
K' (x)	+ , x	Non
M	+ , x	Non
F	+ , x	Oui	Les ensembles (F ,+, x) sont des corps

Historique

Anneau: L'appellation est de David Hilbert (1897).
Gauss et Hamilton connaissait déjà implicitement cette notion. C'est Richard Dedekind, qui le premier a isolé le concept repris par Hilbert.

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Site	Résumé sur les structures algébriques des ensembles avec opérations (.pdf)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/AOUTILS/GrouNomb.htm