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Édition du: 25/09/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Théorie des nombres Types de nombres	Le petit théorème de Fermat
	Découverte	Exploration	Démonstration	Généralisation
	Perles et collier	Applications	Puissances	Avec Pascal

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Collier de perles pour aborder le petit théorème de Fermat Quelle idée ! Expliquer le petit de théorème de Fermat, un théorème de la théorie des nombres, en comptant des colliers de perles … Cette manière de voir est due à une idée de Julius Petersen (1872) concrétisée par Solomon Golomb (1956).
	Sommaire de cette page >>> Compter les colliers de couleur >>> Petit théorème de Fermat	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Compter les colliers de couleur		haut
Cas où p est premier Prenons ce collier formé de cinq perles de trois couleurs. p = 5 et a = 3 Combien pouvons-nous former de colliers différents? Pour chaque perle, il y a trois choix: Q = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243 Les trois colliers d'une seule couleur sont exclus. Q = 35 – 3 Les rotations ne sont pas admises. Il y a en cinq pour chaque motif différent. Remarque importante Ce nombre Q est un entier puisqu'il est le résultat d'un dénombrement. Ce qui veut dire que (a^p – a) est divisible par p.	Collier 5-3 Trois colliers d'une seule couleur Cinq colliers identiques par rotation de 72°
Cas où p est composé Prenons ce collier formé de quatre perles de trois couleurs. p = 4 et a = 3 La quantité de colliers identiques par rotation n'est pas 4, mais 2. On ne peut plus diviser par p. Conséquence: pour respecter notre formule en Q, le nombre p doit être premier.	Collier 4-3 Deux colliers identiques par rotation de 90°

Petit théorème de Fermat		haut
Forme arithmétique On reprend le compte de colliers et on multiple par p. Cette relation montre qu'un nombre (a) à la puissance d'un nombre premier (p) diminué de sa propre valeur est un multiple de ce nombre premier.	Exemples
Forme mathématique On lit: a puissance p est congru à a modulo p Ce qui veut dire que a^p et a divisés par p ont le même reste. Ou encore que le reste de la division de a^ppar p est: a si p > a. a mod p si p < a	Exemple

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Retour	Découverte du théorème de Fermat
Suite	Le petit théorème de Fermat Cas où a = 2 Découverte Exploration Démonstration classique Démonstration avec le triangle de Pascal Application à la factorisation Les puissances de 7 modulo 11 Sa programmation en Python
Voir	Divisibilité des puissances Nombre pseudo-premier Test de primalité Divisibilité par 11 Divisibilité par 42
Sites	Fermat’s Little Theorem: proof by necklaces – The Math Less Traveled Fermat's Little Theorem Explained by Counting Necklaces – Aaron He – Vidéo Youtube Fermat's Little Theorem (Visualization) – Art of the problem – Vidéo Youtube A String of Pearls: Proofs of Fermat’s Little Theorem** – Hing-Lun Chan and Michael Norrish – Revue des démonstrations du théorème
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/PtThFeCo.htm