théorie des nombres, démonstration du petit théorème de Fermat

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/09/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Théorie des Nombres
Débutants Général	Le petit théorème de Fermat			Glossaire Général
INDEX Théorie des nombres	Découverte	Exploration	Démonstration	Généralisation
	Perles et collier	Applications	Puissances	Avec Pascal
		Sommaire de cette page >>> Une suite pratique >>> Recherche d'un multiple de p >>> Théorème de Fermat >>> Autre formulation >>> Réciproque

PETIT THÉORÈME DE FERMAT

Il existe de nombreuses démonstrations

Celle-ci me semble la plus abordable.

On trouvera une autre démonstration en Fermat et Pascal

Rappel sur la divisibilité

Lemme d'Euclide: si un nombre premier p divise le produit a . b,
alors p divise a ou b.

Lemme de Gauss: si m, premier avec a, divise le produit a . b,
alors il divise b.

Voir Propriétés de la divisibilité / Démonstration

Une suite pratique

Soit p un nombre premier
et a un nombre entier, supérieur à 1,
et non divisible par p.

Considérons la suite des multiples de a.

Pour chacun d'eux, p ne divise ni a ni un nombre qui lui est inférieur. Conclusion: p ne divise aucun facteur de chacun de ces nombres.

a et p premiers entre eux.

a, 2a, 3a, ... , (p –1)a (1)

Le nombre p n'en divise aucun.

Les termes de la suite (1), divisés par p, donnent donc des restes non nuls.

Si deux multiples ka et k'a donnaient le même reste, leur différence ka – k'a = (k – k')a donnerait un reste nul.

Or, cette différence est un nombre de la suite (1) et, on a montré que les restes de la suite ne sont pas nuls.

Ces restes sont distincts.

Finalement, les (p – 1) restes des divisions par p, des nombres de la suite (1) sont non nuls et distincts.

Ces restes constituent donc, à l'ordre près, les nombres de la suite suivante:

1, 2, 3, 4, ..., p –1 (2)

Exemple p = 7, a = 10

Tous les nombres de 1 à 6.

Recherche d'un multiple de p

Considérons le produit des termes des deux suites vues ci-dessus.

La première en fonction de la seconde.

Or nous savons que: si nous divisons chaque terme de N par p, nous obtenons des restes qui vont de 1 à p – 1, soit le produit de ces nombres qui n'est autre que n.

N = a . 2a . 3a ... (p –1) a
n = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (p –1)

N = n . a^{p – 1}

N et n ont le même reste lorsque chacun de leur terme est divisé par p.

La différence de ces deux produits ayant même reste donne un reste nul. Cette différence est un multiple de p.

En remplaçant N par sa valeur.

N – n = K. p

n . a^{p – 1} – n = K. p

n (a^{p – 1} – 1) = K. p

Souvenons-nous que n est le produit des nombres jusqu'à p – 1. Il est premier avec p.

Le premier p divise le produit et il ne divise par n, alors il divise l'autre facteur.

n et p premiers entre eux.

a^{p – 1} – 1 = K'. p

Petit théorème de Fermat
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, la différence : *a ^{p – 1} – 1* est divisible par p.	Exemples p = 7 & a = 10 10⁶ – 1 = 999 999 = 7 x 142 857 p = 13 & a = 2 2¹² – 1 = 4 095= 13 x 315
Autre formulation Si p est un nombre premier et a un entier quelconque, la différence : *a ^p – a* est divisible par p. Conséquence Dans un système de numération dont la base est un nombre premier p, les nombres *a^p* et a sont terminés par le même chiffre.	Soit le produit *a. (a^{p – 1} – 1)* Si a est premier avec p, le second facteur est divisible par p. Si a est divisible par p, c'est le premier facteur. Dans tous les cas, le produit est divisible par p. Or *a. (a^{p – 1} – 1) = a^p – a* Divisible par p.