NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/05/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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DIVISIBILITÉ par 24

Formes polynomiales divisibles par 24.

Exemple

Le produit de trois nombres consécutifs

(n – 1) n (n + 1) = n³ – n

dont le central est impair, est divisible par 24.

Produit de quatre nombres consécutifs
Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24. En effet, parmi eux: un est divisible par 2, un est divisible par 3, et un est divisible par 4. Le nombre résultant est un nombre polytope: Quatre cinquièmes de ces nombres sont aussi divisible par 120. Ceux qui ne le sont pas sont en 4 + 5k.

Carrés moins un
n^2 – 1 est divisible par 24	pour tout n premier > 3. pour tout n impair non multiple de 3.
Autrement-dit:	Le carré de tout nombre premier supérieur à 3 est de la forme 24k + 1.

Voir Table de ces nombres / Extension / Nombres carrés / Premiers

Démonstration
Outils utilisés
Tous les nombres premiers, sauf 2	sont impairs.
Le produit de deux nombres pairs successifs	est divisible par 8, car l'un l'est par 2 et l'autre par 4.
Petit théorème de Fermat: pour tout p premier et tout n premier avec p.	n ^p – 1 – 1 est divisible par p.
Démonstration	N = n^2 – 1 = (n + 1) (n – 1)
Si n est un nombre premier supérieur à 3:	n est impair.
n + 1 et n – 1 sont deux nombres pairs successifs.	Leur produit N est divisible par 8.
Fermat à l'œuvre:	N = n^2 – 1 = n^(p – 1) – 1 avec p = 3
Avec p = 3 , nombre premier, naturellement premier avec n.	N est divisible par 3.
Conclusion	N, divisible par 8 et par 3, est divisible par 24.
Généralisation
n est premier peut être remplacé par	n est impair non multiple de 3.
Le petit théorème de Fermat le permet	n doit simplement être premier avec 3.

Voir Autre démonstration

Exemples
Cas où n = premier Tous les cas jusqu'à 100 Statistiques

Extension

Formes voisines Les dernières colonnes indiquent la raison Voir Factorielles tronquées / Nombres consécutifs impairs / Carré des impairs moins un Explications Pour la forme en n² – 1 Nous retrouvons les deux cas démontrés ci-dessus. Dans le cas où n est quelconque, seule s'applique la propriété nombres pairs consécutifs. En multipliant cette forme par n on obtient n^3 – n qui se factorise en (n-1) n (n+1) produit de trois nombres consécutifs toujours divisible par 6 On pourrait faire appel à Fermat pour trouver le même résultat: n^3 - n est divisible par 3, car 3 est bien premier. Dans le cas où n est impair, les deux autres sont pairs soit deux pairs successifs dont le produit est divisible par 8. le troisième nombre est divisible par 3, car parmi 3 nombres consécutifs l'un d'eux est divisible par 3. La forme n^3 – n est divisible par 8 x 3 = 24 si n est impair.

Voir Divisibilité par 24

CAS de p² - q²
Théorème p² – q² est divisible par 24 pour tout p et q premier > 4 Démonstration p et q sont premiers et nous avons vu que: p² = 24k +1 q² = 24k' + 1 La différence est divisible par 24: p² - q² = 24 (k – k')	Exemples

EXPRESSION divisible par 24
Montrez que 24 divise l'expression:	m = 2 . 7^n + 3 . 5^n - 5
Démonstration par induction	>>>
Pour k = 1, c'est vrai	2 . 7 + 3 . 5 – 5 = 14 + 15 – 5 = 24
Supposons la formule vraie pour k. L'est-elle pour k + 1?	m' = 2 . 7^k+1 + 3 . 5^k+1 – 5 = 2 . 7^k . 7 + 3 . 5^k . 5 – 5 = 7 ( 2 . 7^k + 3 . 5^k – 5) – 6 . 5^k + 30 = 7m – 6 . 5^k + 30
Pour k = 1 (La barre verticale veut dire divise)	m' = 7m Or 24 | m
Pour k > 1 Le premier terme de m' est divisible par 24 selon notre hypothèse. Il s'agit de démontrer que le deuxième terme est divisible par 24.	6 . 5^k + 30 = 30 (5^k-1 – 1) = 30 (5 – 1) (5^k-2 + 5^k-3 + … + 5 + 1) = 30 x 4 (5^k-2 + 5^k-3 + … + 5 + 1) Or 24 | (30 x 4)
Exemples

Variante de la démonstration	(plus d'explications)
Validation du point de départ
Valeur pour f(1). Le théorème est donc vrai pour n = 1.	f(1)	= 2 . 7 + 3 . 5 - 5 = 14 + 15 - 5 = 24
Validation de la récurrence
Supposons le théorème vrai pour n.	f(n)	= 24 .k
Calculons la valeur pour n+1. Sortons les puissances comme indiqué. On essaie de dégager des exposants identiques à ceux de f(n).	f(n+1)	= 2 . 7^(n+1) + 3 . 5^(n+1) - 5 = 7 .2 . 7^n + 5 . 3 . 5^n - 5
Calculons la différence indiquée.	7 f(n) - f(n+1)	= - 7 .2.7^n - 5 . 3.5^n + 5 + 7 . 2.7^n + 7 . 3.5^n - 7 . 5 = 2 . 3 . 5^n - 6 . 5 = 6 . 5^n - 6 . 5
Sortons une puissance de 5.		= 6 . 5 . 5^n-1 - 6 . 5 = 30 (5^n-1 - 1)
Premier cas: n = 1 Or f(1) = 24. Ce cas, nous donne simplement la valeur de f(2).	7 f(1) - f(2) 7 . 24 - f(2) f(2)	= 30 (1 - 1) = 0 = 24 . 7
Cas général: n > 1 Calculons la parenthèse.	7 f(n) - f(n+1) 5^n-1 - 1	= 30 (5^n-1 - 1) = (5-1) (5^n-2 + 5^n-3 +…+ 5 + 1) = 4 . h
Reprenons la différence. Note: la différence est divisible par 120. Cette valeur ne peut pas être retenue car la propriété n'est pas vérifiée pour n = 1.	7 f(n) - f(n+1)	= 30 (5^n-1 - 1) = 30 . 4 . h = 120 . h = 24 . 5 . h
La différence est divisible par 24. L'un des termes de la différence est divisible par 24 (notre hypothèse). L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.	f(n) f(n+1)	= 24 . k = 24 . h
Conclusion
Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1) Or elle est vérifiée pour n = 1. Elle est vraie pour tous les nombres suivants.

TROIS NOMBRES CONSÉCUTIFS (n impair)
Théorème Le produit de trois nombres consécutifs dont le central est impair est divisible par 24. Démonstration par induction >>>	m = n (n² – 1) = (n – 1) n (n + 1) est divisible par 24 si n est impair.
Pour k = 1, c'est vrai.	m = 0 et 24 | 0 Même si ce résultat est trivial.
Supposons la formule vraie pour (2k – 1). L'est-elle pour (2k + 1)?	m = (2k – 2) (2k – 1) (2k) m' = 2k (2k + 1) (2k + 2)
Cherchons à isoler m dans m'.	m' = 2k (2k + 1) (2k + 2) = (2k – 2 + 4) (2k – 1 + 2) 2k
En développant tout en conservant les termes de m. Chaque terme est divisible par 24. La somme est divisible par 24. CQFD.	= { (2k – 2) (2k – 1) + (2k – 2) 2 + 4 (2k – 1) + 8) } 2k = m + (4k - 4 + 8k – 4 + 8) 2k = m + (12k) 2k = m + 24 k²
Exemples

Suite	Découpe du cercle: formule divisible par 24 Formes polynomiales en général Voir haut de page
Voir	Calcul mental – Index Fermat Géométrie – Index Nombres magiques – Index Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index
DicoNombre	Nombre 24
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