NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Général

Puissances de 2

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Approche

Propriétés

Valeurs

Derniers chiffres

Chiffres

666 dans les puissances de 2

 

Sommaire de cette page

>>> Les chiffres des puissances de 2 en puissances

>>> Parité des chiffres

>>> Chiffres des puissances de 2: somme et produit

 

 

 

Chiffres des PUISSANCES de 2

Voir Apparition des chiffres dans les puissances de 2

 

 

 

Quantité de chiffres en dizaines   

haut

 

Quelle est la puissance de 2 qui atteint la première une quantité de chiffres en dizaines ?

Exemple

230 = 1073741824 => 10 chiffres

30, 10

64, 20

97, 30

130, 40

163, 50

196, 60

230, 70

263, 80

296, 90

329, 100

363, 110

396, 120

429, 130

462, 140

495, 150

529, 160

562, 170

595, 180

628, 190

662, 200

695, 210

728, 220

761, 230

794, 240

828, 250

861, 260

894, 270

927, 280

961, 290

994, 300

1027, 310

1060, 320

1093, 330

1127, 340

1160, 350

1193, 360

1226, 370

1260, 380

1293, 390

1326, 400

1359, 410

1392, 420

1426, 430

1459, 440

1492, 450

1525, 460

1558, 470

1592, 480

1625, 490

1658, 500

1691, 510

1725, 520

1758, 530

1791, 540

1824, 550

1857, 560

1891, 570

1924, 580

1957, 590

1990, 600

2024, 610

2057, 620

2090, 630

2123, 640

2156, 650

2190, 660

2223, 670

2256, 680

2289, 690

2323, 700

2356, 710

2389, 720

2422, 730

2455, 740

2489, 750

2522, 760

2555, 770

2588, 780

2622, 790

2655, 800

2688, 810

2721, 820

2754, 830

2788, 840

2821, 850

2854, 860

2887, 870

2920, 880

2954, 890

2987, 900

3020, 910

3053, 920

3087, 930

3120, 940

3153, 950

3186, 960

3219, 970

3253, 980

3286, 990

3319, 1000

3352, 1010

3386, 1020

3419, 1030

3452, 1040

3485, 1050

3518, 1060

3552, 1070

3585, 1080

3618, 1090

3651, 1100

3685, 1110

3718, 1120

3751, 1130

3784, 1140

3817, 1150

3851, 1160

3884, 1170

3917, 1180

3950, 1190

3983, 1200

4017, 1210

4050, 1220

4083, 1230

4116, 1240

4150, 1250

4183, 1260

4216, 1270

4249, 1280

4282, 1290

4316, 1300

4349, 1310

4382, 1320

4415, 1330

4449, 1340

4482, 1350

4515, 1360

4548, 1370

4581, 1380

4615, 1390

4648, 1400

4681, 1410

4714, 1420

4748, 1430

4781, 1440

4814, 1450

4847, 1460

4880, 1470

4914, 1480

4947, 1490

4980, 1500

 

An

On

 

 

 

 

Les chiffres des puissances de 2 en puissances de 6 à 15

Voir Brève 637

 

 

Parité des chiffres

 

Puissance de 2 jusqu'à 50 avec identification des chiffres pairs et des chiffres impairs

Exemple: k = 10; n = 1024; 3 chiffres pairs et 1 seul impair qui sont (0, 2, 4) et (1).

En jaune, les seules puissances de 2 avec chiffres pairs (sûr jusqu'à k = 50 000)

 

k

n = 2k

# P

# I

Pairs

Impairs

1

 2

 1

 0

2

 

2

 4

 1

 0

4

 

3

 8

 1

 0

8

 

4

 16

 1

 1

6

1

5

 32

 1

 1

2

3

6

 64

 2

 0

6, 4

 

7

 128

 2

 1

2, 8

1

8

 256

 2

 1

2, 6

5

9

 512

 1

 2

2

5, 1

10

 1024

 3

 1

0, 2, 4

1

11

 2048

 4

 0

2, 0, 4, 8

 

12

 4096

 3

 1

4, 0, 6

9

13

 8192

 2

 2

8, 2

1, 9

14

 16384

 3

 2

6, 8, 4

1, 3

15

 32768

 3

 2

2, 6, 8

3, 7

16

 65536

 2

 3

6, 6

5, 5, 3

17

 131072

 2

 4

0, 2

1, 3, 1, 7

18

 262144

 5

 1

2, 6, 2, 4, 4

1

19

 524288

 5

 1

2, 4, 2, 8, 8

5

20

 1048576

 4

 3

0, 4, 8, 6

1, 5, 7

21

 2097152

 3

 4

2, 0, 2

9, 7, 1, 5

22

 4194304

 4

 3

4, 4, 0, 4

1, 9, 3

23

 8388608

 6

 1

8, 8, 8, 6, 0, 8

3

24

 16777216

 3

 5

6, 2, 6

1, 7, 7, 7, 1

25

 33554432

 3

 5

4, 4, 2

3, 3, 5, 5, 3

26

 67108864

 6

 2

6, 0, 8, 8, 6, 4

7, 1

27

 134217728

 4

 5

4, 2, 2, 8

1, 3, 1, 7, 7

28

 268435456

 6

 3

2, 6, 8, 4, 4, 6

3, 5, 5

29

 536870912

 4

 5

6, 8, 0, 2

5, 3, 7, 9, 1

30

 1073741824

 5

 5

0, 4, 8, 2, 4

1, 7, 3, 7, 1

31

 2147483648

 7

 3

2, 4, 4, 8, 6, 4, 8

1, 7, 3

32

 4294967296

 6

 4

4, 2, 4, 6, 2, 6

, 9, 9, 7, 9

33

 8589934592

 4

 6

8, 8, 4, 2

5, 9, 9, 3, 5, 9

34

 17179869184

 4

 7

8, 6, 8, 4

1, 7, 1, 7, 9, 9, 1

35

 34359738368

 4

 7

4, 8, 6, 8

3, 3, 5, 9, 7, 3, 3

36

 68719476736

 5

 6

6, 8, 4, 6, 6

7, 1, 9, 7, 7, 3

37

 137438953472

 4

 8

4, 8, 4, 2

1, 3, 7, 3, 9, 5, 3, 7

38

 274877906944

 7

 5

2, 4, 8, 0, 6, 4, 4

7, 7, 7, 9, 9

39

 549755813888

 5

 7

4, 8, 8, 8, 8

5, 9, 7, 5, 5, 1, 3

40

 1099511627776

 4

 9

0, 6, 2, 6

1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7

41

 2199023255552

 5

 8

2, 0, 2, 2, 2

1, 9, 9, 3, 5, 5, 5, 5

42

 4398046511104

 7

 6

4, 8, 0, 4, 6, 0, 4

3, 9, 5, 1, 1, 1

43

 8796093022208

 9

 4

8, 6, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 8

7, 9, 9, 3

44

 17592186044416

 8

 6

2, 8, 6, 0, 4, 4, 4, 6

1, 7, 5, 9, 1, 1

45

 35184372088832

 8

 6

8, 4, 2, 0, 8, 8, 8, 2

3, 5, 1, 3, 7, 3

46

 70368744177664

 8

 6

0, 6, 8, 4, 4, 6, 6, 4

7, 3, 7, 1, 7, 7

47

 140737488355328

 7

 8

4, 0, 4, 8, 8, 2, 8

1, 7, 3, 7, 3, 5, 5, 3

48

 281474976710656

 8

 7

2, 8, 4, 4, 6, 0, 6, 6

1, 7, 9, 7, 7, 1, 5

49

 562949953421312

 6

 9

6, 2, 4, 4, 2, 2

5, 9, 9, 9, 5, 3, 1, 3, 1

50

 1125899906842624

 10

 6

2, 8, 0, 6, 8, 4, 2, 6, 2, 4

1, 1, 5, 9, 9, 9

  

 

Record plus de chiffres pairs que de chiffres impairs

[écart, k, n, #P, #I, chiffres pairs, chiffres impairs]

 

1, 1, 2, 1, 0, [2], []

2, 6, 64, 2, 0, [6, 4], []

4, 11, 2048, 4, 0, [2, 0, 4, 8], []

5, 23, 8388608, 6, 1, [8, 8, 8, 6, 0, 8], [3]

6, 66, 73786976294838206464, 13, 7, [8, 6, 6, 2, 4, 8, 8, 2, 0, 6, 4, 6, 4], [7, 3, 7, 9, 7, 9, 3]

10, 71, 2361183241434822606848, 16, 6, [2, 6, 8, 2, 4, 4, 4, 8, 2, 2, 6, 0, 6, 8, 4, 8], [3, 1, 1, 3, 1, 3]

Record plus de chiffres impairs que de chiffres pairs

 

 

-1, 9, 512, 1, 2, [2], [5, 1]

-2, 17, 131072, 2, 4, [0, 2], [1, 3, 1, 7]

-3, 34, 17179869184, 4, 7, [8, 6, 8, 4], [1, 7, 1, 7, 9, 9, 1]

-4, 37, 137438953472, 4, 8, [4, 8, 4, 2], [1, 3, 7, 3, 9, 5, 3, 7]

-5, 40, 1099511627776, 4, 9, [0, 6, 2, 6], [1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7]

-7, 75, 37778931862957161709568, 8, 15, [8, 8, 6, 2, 6, 0, 6, 8], [3, 7, 7, 7, 9, 3, 1, 9, 5, 7, 1, 1, 7, 9, 5]

-9, 76, 75557863725914323419136, 7, 16, [8, 6, 2, 4, 2, 4, 6], [7, 5, 5, 5, 7, 3, 7, 5, 9, 1, 3, 3, 1, 9, 1, 3]

 

PAIR / PREMIER

Cas où le nombre avec les chiffres pairs est premier (= 2, seule possibilité).

 

2, [2], 2        n , chiffres pair, nombre avec les chiffres pairs

32, [2], 2

512, [2], 2

131072, [0, 2], 2

IMPAIR / PREMIER

Cas où le nombre avec les chiffres impairs est premier.

 

Exemple:

8 192 => 19 est premier

 

En rose les cas ou le nombre avec les impairs ne comporte pas plus de deux chiffres différents. Aucun autre jusqu'à la puissance 500.

 

 

 

 

 

32, [3], 3

256, [5], 5

8192, [1, 9], 19

16384, [1, 3], 13

32768, [3, 7], 37

524288, [5], 5

1048576, [1, 5, 7], 157

4194304, [1, 9, 3], 193

8388608, [3], 3

67108864, [7, 1], 71

134217728, [1, 3, 1, 7, 7], 13177

536870912, [5, 3, 7, 9, 1], 53791

2147483648, [1, 7, 3], 173

8589934592, [5, 9, 9, 3, 5, 9], 599359

68719476736, [7, 1, 9, 7, 7, 3], 719773

549755813888, [5, 9, 7, 5, 5, 1, 3], 5975513

1099511627776, [1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7], 199511777

4398046511104, [3, 9, 5, 1, 1, 1], 395111

8796093022208, [7, 9, 9, 3], 7993

4611686018427387904, [1, 1, 1, 7, 3, 7, 9], 1117379

4722366482869645213696, [7, 3, 9, 5, 1, 3, 9], 7395139

9444732965739290427392, [9, 7, 3, 9, 5, 7, 3, 9, 9, 7, 3, 9], 973957399739

18889465931478580854784, [1, 9, 5, 9, 3, 1, 7, 5, 5, 7], 1959317557

151115727451828646838272, [1, 5, 1, 1, 1, 5, 7, 7, 5, 1, 3, 7], 151115775137

1208925819614629174706176, [1, 9, 5, 1, 9, 1, 9, 1, 7, 7, 1, 7], 195191917717

4835703278458516698824704, [3, 5, 7, 3, 7, 5, 5, 1, 9, 7], 3573755197

 

 

IMPAIR / PREMIER

Le nombre premier impair commence par trois chiffres identiques.

 

262 = 4611686018427387904 => 1117379

2118 = 332306998946228968225951765070086144 => 333999959517571

 

Cas suivant pour 2^824 et le nombre commence par 11177131…

 

 

 

Chiffres des puissances de 2 

(S = Somme; P = Produit)

Voir Nombre 2016 / Nombre 86

 

Note: les valeurs indiquées sont quasi-certaines, mais non prouvées. La probabilté de trouver des valeurs nettement supérieures à celles indiquées est très, très faible.

 

Puissance de 2 pannumériques (qui contiennent tous les chiffres)

 

251 = 2251799813685248              Plus petite avec tous les chiffres de 1 à 9

268 = 295147905179352825856   Plus petite avec tous les chiffres de 0 à 9

2169 = 748288838313422294120286634350736906063837462003712 à partir de 169, toutes les puissances de 2 sont pannumériques (au moins une fois tous les chiffres).

 

Plus grande puissance sans le chiffre k

[0/86, 1/91, 2/168, 3/153, 4/107, 5/71, 6/93, 7/71, 8/78, 9/108]

 

Exemple: après la puissance 86, toutes les puissances de 2 contiennent un 0.

 

Plus grandes puissances sans les chiffre k et h

Pour k = h, on retrouve les valeurs indiquées ci-dessus.

Au-delà des valeurs indiquées, la puissance de 2 comporte au moins un chiffre k ou un chiffre h.

 

241 = 2 199 023 255 552:  dernière puissance de 2 sans (4, 6, 7, et 8).

271 = 2 361 183 241 434 822 606 848: dernière puissance de 2 sans (5, 7 et 9)
et aussi sans 5 et sans 9.

 

Voir Pi Pannumérique / Carrés et cubes pannumériques

 

Zéros dans les puissance de 2

Exposant, valeur de la puissance de 2, quantité de 0 record

 

10, 1024, 1

42, 4398046511104, 2

43, 8796093022208, 3

79, 604462909807314587353088, 4

88, 309485009821345068724781056, 5

100, 1267650600228229401496703205376, 6

 

Voir Brève 776

 

Présence de deux mêmes chiffres consécutifs

0 => 253 = 9 007 199 254 740 992

1 => 240 = 1 099 511 627 776

2 => 243 = 8 796 093 022 208

3 => 225 = 33 554 432

4 => 218 = 262 144

5 => 216 = 65 536

6 => 246 = 70 368 744 177 664

7 => 224 = 16 777 216

8 => 219 = 524 288

9 => 233 = 8 589 934 592

Voir idem pour trois chiffres consécutifs

 

 

 

 

Liste des exposants des puissances de 2 occasionnant k chiffres identiques de suites

 

2 => [53, 40, 43, 63, 18, 16, 46, 24, 19, 33]  Cette liste reprend les exposants vus ci-dessus

3 => [242, 42, 43, 83, 44, 41, 157, 24, 39, 50]
4 => [377, 313, 314, 219, 192, 41, 220, 181, 180, 421]

5 => [1491, 485, 314, 221, 315, 973, 220, 317, 316, 422]

6 => [1492, 1841, 2354, 2270, 3396, 973, 2269, 972, 971, 2187]

 

 

 

 

 

 

Suite

*    P2 – Cycle de répétition des derniers chiffres

*    P2 – Table des valeurs

*    P3 et 9 à étages

*    Puissance des nombres – Autres pages

Autour des puissances de 2

*    Nombres de Mersenne

*    Nombres de Fermat

*    Apparition des chiffres dans les puissances de 2

*    Plus petite puissances pannumériques des nombres

Voir

*    Puissances – Index

*    Puissances de 2 et nombre 142857

*    Puissances et exposants

Site

*    OEIS A068994 - Powers of 2 with all even digits

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