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ENSEMBLE de CANTOR

Ensemble triadique de Cantor

Parmi plus simples fractales à dessiner, pas les moins paradoxales!

Anglais: Cantor's dust, Cantor' set,Cantor's triadic set

ENSEMBLE DE CANTOR

Prendre un segment, lui retirer son tiers central. Prendre chacun des deux segments restants et leur retirer le tiers central. Etc. Etc. En continuant, on forme une poussière de points. Il y en a une infinité. La longueur totale est nulle. Ces propriétés paradoxales ont perturbé les mathématiciens du XIX^e siècle. Si vous lancer une fléchette sur une ligne des plus basses, la probabilité d'atteindre un tiret noir tend vers zéro, car la longueur cumulée des tirets tend vers zéro. La quantité de tirets augmente pourtant jusqu'à devenir indénombrable comme l'infini des nombres réels. Générateur: 3 segments de longueur 1/3 Longueur: Nulle Dimension: log 2 / log 3 = 0,630 9... Mandelbrot utilise cet ensemble comme modèle de probabilité d'erreurs sur les lignes de transmission électronique. Il avait observé qu'il y avait des bouffées d'erreurs, et non une continuité d'erreurs, et ce, à toutes les échelles de temps.

Propriétés

Ensemble étudié par Cantor en 1883.

Georg Cantor (1845-1918) : mathématicien allemand.

L'ensemble de Cantor est à l'origine de nombreuses figures fractales, le carré de Cantor, la courbe de Koch comme le tapis de Sierpinski.

En ternaire, la construction de cet ensemble consiste à supprimer le 1 central:

0									1									2
0			1			2			0			1			2			0			1			2
0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2

En géométrie, l'ensemble de Cantor représente les intervalles fermés successifs suivants sur la droite:

Retrait de 1/3

Retrait de 2 x 1/9 = 2/9

etc.

La somme des longueurs des segments retirés est égale à la longueur du segment d'origine.

C'est en effet, une progression géométrique de raison 2/3 avec 1/3 pour premier élément; la somme vaut (1/3) / (1 – 2/3) = 1

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