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LUNULES ou croissants de Lune

aussi: lentilles ou ménisques

 La lunule est l'une des surfaces qui apparait lorsque deux cercles identiques se coupent.

Les lunules donnent une relation sympathique entre l'aire d'une surface courbe et celle d'une surface triangulaire.

Elles semblaient être une piste intéressante pour résoudre la quadrature du cercle.

Note: La lunule est la tache claire située sur la base de chaque ongle, sutout visible sur le pouce.

En photographie, un objectif ménisque est un objectif constitué d'une seule lentille convergente. Ici, ménisque convergent.

Voir Optique

Devinette – Aire du poisson

Un carré (bleu) de côté a. Un grand quart de cercle (A; R = a) Deux petits demi-cercles (M et N; R = a/2) La figure jaune qui ressemble à un poisson est partagée en deux parties dont vous devez comparez les aires. Calculez également l'aire du poisson jaune.

Solution

Zone bleue		haut
Construction Un carré et son cercle circonscrit. Quatre demi-cercles posés sur chacun des côtés du cercle. Quelle est l'aire de la zone colorée en bleu ? Pistes Comment décomposer la figure de façon à simplifier les calculs ? Solution Figure en bas à gauche Prenons le carré et les demi-cercles (K + D), lesquels couvrent toute la surface. Il faut retirer les zones blanches. Figure en bas à droite Prenons le cercle et le carré. La zone à éliminer est ici en orange et sa surface vaut (C – K). L'aire de la zone bleue vaut: A = (K + D) – (C – K) = 2K + D – C Si a est le côté du carré:	Les quatre lunules bleues ont la même surface que le carré.

Voir Brève 56-1111

Quart de cercle dans le cercle		haut
Cette figure fait apparaître une lunule dont l’aire vaut exactement 1 pour un disque de rayon 1 . Les calculs sont sans difficultés particulières.
Construction Un quart de cercle dans un cercle. Quelle est l’aire de la lunule bleue ? Pistes L’aire du disque complet est égale à : D = Q + 2S + L Les triangles OBA et OBC sont deux triangles isocèles rectangles identiques : AB = BC = √2 OB = √2 Calculs Aire du disque D = π R² = π Aire du quart de disque: Q = 1/4 π (√2)² = 1/2 π Aire des segments de cercle (quart de disque moins un triangle rectangle isocèle): S = 1/4 π – 1/2 Aire de la lunule : L = π – 1/2 π – 2 × (1/4 π – 1/2) = 1 Note Aire du segment S = 1/4 π – 1/2 = 0,285… ≈ 1/4 Soit une approximation des aires indiquée sur cette figure. Avec Pi pris égal à 3.	Figure initiale Figure avec notations Aires (exactes) avec un disque de rayon unité

Lunule et Pythagore
Un triangle rectangle ABC. Un demi-cercle ayant pour diamètre chacun des côtés. Rappel sur l'aire du cercle Aire de chacun des demi-cercles: Cercle en A': a² / 8 Cercle en B': b² / 8 Cercle en C': c² / 8 La somme des deux petits-demi-cercles en A' et B' vaut: a² / 8 + b² / 8 = / 8 (a² + b²) = / 8 c² = Aire du demi-cercle en C' Notes: la figure est plus jolie avec des demi-cercles, mais on aurait exactement la même relation avec les cercles complets. En puriste, on aurait dû dire aire des demi-disques plutôt que demi-cercles.	Théorème de Pythagore: a² + b² = c² Cette propriété montre que la somme des aires des demi-cercles mauves est égale à l'aire du demi-cercle bleu.

Lunule d'Hippocrate
Selon la propriété énoncée ci-dessus: l'aire des deux petits demi-cercles (DcB et DcC) est égale à celle du grand demi-cercle (DcA). On écrit en abrégé: DcB + DcC = DcA DcB + DcC – DcA = 0 On souhaite calculer la somme des deux lunules (LuB + LuC), sorte de croissants de lune en mauve: LuB + LuC = la figure au dessus de CB moins le demi grand cercle, égal à DcA = DcB + DcC + Tr – DcA Les trois termes en Dc (rouges) s'annulent: LuB + LuC = Tr	En termes d'aires: Lunules = petits demi-cercles + triangle auquel on retire le grand demi-cercle. Bilan: L'aire des deux lunules est égale à celle du triangle rectangle.

Voir Hippocrate et ses contemporains

Cas du carré

Sur cette figure l'aire des quatre lunules (bleues) est égale à l'aire du carré central (l'ocre ou le mauve).

Cela résulte de la propriété énoncée ci-dessus. Le triangle étant aussi isocèle et la figure est doublée vers le bas par symétrie.

L'égalité entre aires originaires de cercles et de carrés avait laissé penser que la solution de la quadrature du cercle était là, sous-jacente.

Lunules fractales

Sur chaque côté du triangle (T1), on a dessiné un demi-cercle (1, 2, 3). Et nous avons trouvé que l'aire du plus grand est égale à la somme des aires des deux petits. En abrégé: 1 = 2 + 3. Dans chaque demi-cercle, nous pouvons dessiner un nouveau triangle rectangle (T10, T20 et T30) et, les demi-cercles sur leurs côtés (10, 11, 20, 21, 30 et 31). Or, en abrégé: 10 + 11 = 1; 20 + 21 = 2; 30 + 31 = 3 En reprenant la première égalité: 1 = 2 + 3 10 + 11 = 20 + 21+ 30 + 31 Aire bleue = aire verte Il est possible de répéter cette opération autant de fois que l'on veut, à la manière des fractales.

LUNULE générale – Rayon unique
Deux cercles de même rayon se coupent. Quelle est l'aire de chacune des lunules ainsi formées? La figure montre: En haut à gauche, la découpe des deux cercles; la lunule est en jaune. En haut à droite, les notations avec le réparége de quatre surfaces élémentaires En bas, sont isolés, le secteur de centre O' et le segment de centre O.
Secteur Segment Différence Lunule	SecO' SegO SecO' – SegO 1	= 1 + 2 = 2 + 3 = 1 – 3 = SecO' – SegO + 3
Angles	AOB AO'B	= = 2 –
Aire secteur Aire segment Aire du losange	ASecO' ASegO ALos	= ½ R² (2 – ) = ½ R² ( – sin ) = R² sin
Aire de la lunule	ALunule	= ½ R² (2 – ) – ½ R² ( – sin ) + ½ R² sin = R² ( – + sin )
Quelques valeurs Si d = R, les deux cercles sont tangents et la lunule devient un cercle complet.

LUNULE générale – Rayons différents
Lunule	ALun	= Aire MBN – Aire MCN
Secteurs	Aire MBN
	Aire MCN
Bilan	L'expression avec R, R' et d n'est pas simple! Voir la page Lune de Wolfram

Voir Aire de la lentille

English corner
A lune is a plane figure bounded by two circular arcs of unequal radii, i.e., a crescent. A plane figure bounded by two circular arcs of equal radius is known as a lens.

Devinette – Solution

Aire du poisson Le calcul repose sur le constat que l'aire de A est égale l'aire du grand quart de cercle (R = a) auquel on retire deux fois l'aire du petit demi-cercle (R = a/2), mais en tenant compte que l'aire de B est comptée une fois de trop.	Aire A = Aire B
Calcul de l'aire de B (aire du pétale)

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