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	Sommaire de cette page >>> Je me vois sans fin >>> Elle rit dans sa boite >>> Elle a la cote, la côte >>> Qu'il est chou ce chou-fleur! >>> La rose des sables >>> C'est de l'art qui se répète >>> Questions >>> Jeu

FRACTALES

C'est quoi en un mot?

Une fractale, c'est … une fraction particulière? Non. Mais il y a un peu de cela, en tout cas à l'origine de leur histoire.

Pour chacun d'entre-nous, ce sont de jolies images colorées.

Source image: weed's fractal gallery

Pour le mathématicien, c'est un peu plus complexe. Comme pour une voiture ou une montre, comprendre la structure interne des fractales nécessite des compétences particulières.

Une fractale est un objet mathématique qui n'existe pas en tant que tel dans la réalité, comme c'est le cas lorsqu'on matérialise un point ou une droite. Contrairement à ceux-ci, sa dimension n'est pas entière.

Comment approcher ce concept? Voici une page qui essaie de le faire en utilisant des analogies.

Je me vois sans fin

Dans la salle de bain, tenez un petit miroir portatif derrière votre tête et regardez-vous dans le grand miroir. Positionnez le petit miroir pour voir votre portrait dans le grand miroir. Si vous ajustez le petit miroir, vous aller voir votre portrait une nouvelle fois au loin, puis encore une fois plus loin. Voir quatre fois votre trombine sera déjà bien avec un tel dispositif. Vous pourrez voir plus d'images si vous utilisez deux grands miroirs. Par exemple, celui de la salle de bain et celui de la porte-miroir qui lui fait face. Une telle situation se présente parfois dans les hôtels. Conclusion Vison d'images qui se répliquent sans fin, de plus en plus petites du fait de la distance de vision. Le nième miroir montre la même image que celle d'origine, mais à une échelle réduite. Toutes les images sont similaires, auto-similaires.

Elle rit dans sa boite
La fameuse boîte de Vache qui rit est un bel exemple de répétition d'images. Aussi loin que l'on zoome sur la boite, il y aura toujours une boucle d'oreille avec une vache qui rit. Cette opération de duplication sans fin s'appelle une mise en abyme. Voir Abîme et abyme

Un exemple simple de mise en abyme

Un exemple plus graphique et plus récent

Elle a la cote, la côte
Voici la côte du Finistère. Comment mesurer la longueur de cette côte? Il faut définir une unité de mesure. Choisissons la longueur du trait rouge sur la figure et reportons cette mesure unitaire le long e la ligne de côte. Avec cette unité, la courbe de la côte est très approximée, notamment dans les baies ou le long des pointes. Avec une unité plus petite, nous passerions plus près de la ligne de côte et nous mesurerions une longueur plus grande. En choisissant encore plus petit, la ligne mesurée serait encore plus longue. Quand faut-il s'arrêter? Il y aura toujours des micro-baies et des micro-pointes. Une norme est nécessaire. Note: en ce qui concerne la côte, le problème se complique avec les marées: Faut-il faire les mesures à marée haute ou marée basse? En fait, c'est la ligne d'estran ou trait de côte qui est adopté.	Longueur de la côte française: 3 240 km Record: Canada avec plus de 200 000 km Voir Trait de côte

Qu'il est chou ce chou-fleur!
Le chou-fleur est l'objet naturel permettant le mieux d'introduire la notion de fractale. Voyez les grosses mottes blanches formées elles-mêmes de petites formes, à l'intérieur desquelles se retrouvent de petites formes boursouflées. Le chou-fleur est formé d'un certain nombre de parties semblables au tout. Le chou-fleur peut être fragmenté en parties semblables. Encore plus flagrant, le chou romanesco (en bas). Une variété de chou-fleur originaire de Rome en Italie. Il est aussi appelé: brocoli à pomme.

Voir Phyllotaxie (mathématiques et végétaux)

La rose des sables
Comment le vent joue avec le sable pour nous offrir ces merveilles à la structure fractale.

C'est de l'art qui se répète
Certains dessins de Escher sont bien connus pour présenter des motifs répétée et imbriqués. Ici, des oiseaux blancs et des oiseaux blancs. Effet répétitif sans fin dans l'espace Plus fort: Escher s'est inspiré des travaux d'Henri Poincaré pour illustrer la mise en abyme.

Questions

Une image rebondit-elle sans fin sur deux miroirs parallèles? Que fait le son émis par un haut-parleur et réinjecté immédiatement dans le micro? Un son strident insupportable, l'effet Larsen. Que se passe-t-il si l'on remplace chaque fragment de courbe par la courbe elle-même? Une courbe fractale comme le flocon de Koch. Et un dessin par un lui-même plus petit? Sierpinski donne de nombreux exemples comme sa carpette. Et, si nous retirions des portions de courbes? Un tel procédé conduit aux poussières de Cantor ou aux éponges de Menger Que peut donner la sortie d'une fonction mathématique si on réinjecte le résultat de sortie vers l'entrée: des objets mathématiques complexes: des fractales comme celles de Mandelbrot.

Pour jouer
Vous pouvez vous amuser à dessiner des objets fractals en choisissant une forme quelconque. Vous la réduisez et la reportez sur les bords de la première. Vous répétez cette opération autant de fois que vous voulez.

Voir Pentagones de Dürer

Quelques fractales typiques

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