NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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OBJETS FRACTALS

 

Débutants

Fractales

Éponge de Menger

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Objets fractals

 

 

Sommaire de cette page

>>> Éponge

>>> Propriétés

 

 

 

 

 

 

 

 

 Éponge de Menger

ou de Menger-Sierpinski

 

Karl Menger, mathématicien autrichien, en 1926

 

Objet fractal en trois dimensions (solide): extension dans une troisième dimension de l'ensemble de Cantor et du tapis de Sierpinski. Objet spectaculaire, parfois mis en scène dans des expositions, accompagné d'effet de miroirs. C'est un bon candidat pour les amateurs d'origamis.

 

 

  

ÉPONGE de MENGER

 

*         Cube évidé de cubes: du cube initial, on retire un cube central et les cubes centraux de chaque face.

 

*         L'opération est répétée pour chaque cube élémentaire ainsi formé pour obtenir un volume très troué, l'éponge de Menger.

 

Générateur            20 cubes de côté 1/3

Aire                         Infinie

Volume                  Limité

Dimension            log 20 / log 3 = 2,726 …

= 2, 726 833 027 860 842 041 39 …

  

 https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-4a20ebb39069167f2c5e2fa4b4e5513c-pjlq

 

 

*         Chaque face est un tapis de Sierpinski.

*         Toute intersection de l'éponge de Menger avec une diagonale ou une médiane du cube initial est un ensemble de Cantor.

 

 

 

Propriétés

 

Dimension fractale

Voir Dimension fractale

 

*         Le volume restant au premier tour est formé de cubes élémentaires de côté 1/3.

*         Il y a huit cubes sur la face supérieure, huit sur la face inférieure et quatre dans la tranche centrale, soit un total de 20.

*         La construction conduit à une division du volume initial par trois et une construction faite de 20 éléments au départ.

*         Par définition, la dimension fractale est:

log 20 / log 3 = 2,726 8…

 

 

 

Encombrement, volume et surface

 

*         Si a est la longueur du côté du cube initial, l'encombrement reste, bien sûr, constant est égal à: a 3

*         Par contre volume et surface évoluent étrangement avec le nombre d'itérations:

 

Itération

Volume

Surface

N° 1

V0 =

a3

S0 =

6 a2

N° 2

 

V1 =

a3 - 7 (a / 3)3

S1 =

6 a2 - 6 (a/3) + 6x4 (a/3)

20 /27 V0

=

(4 / 3 ) S0

N° 3

 

V2 =

 

(20 /27)² V0

S2 =

(4 / 3 )2 S0

 

 

 

N° n

 

Vn =

 

(20 /27)n V0

Sn =

(4 / 3 )n qS0

 

 

 

N°

V =

0

S =

 

*         Objet extraordinaire: de volume nul et de surface infinie!

*         Les poumons se rapprochent de ce modèle.

 

 

 

 

Voir Images en grand sur Un ensemble de Mandelbrot cubique… - Jos Leys – CNRS

 

 

 

 

 

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