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RACINES DE L'UNITÉ

& Polynômes cyclotomiques

Résolution générale de l'équation: zⁿ = 1

<<< Voir Introduction

Solution générale
Équation à résoudre: racine de l'unité: Or, l'unité a un module de 1 et un argument de 0°. Sa représentation trigonométrique est:	z^n = 1 Car: 1 = cos(0) + i sin (0) 1 = 1 + 0 Rappel: 2 = 1 tour complet du cercle = 360°
En reprenant l'écriture pour trouver x: Rappel: racine carrée est équivalent à puissance 1/2	x = { cos(2r) + i sin (2r) } ^1/2
En utilisant la formule de De Moivre:	x = cos(2r / n) + i sin (2r / n)
Posons l'expression sans le r Lire: oméga égal …	= cos(2 / n) + i sin (2 / n)
Alors, toutes les racines nièmes de 1 sont. En utilisant la formule de De Moivre.	^r avec r = 0, 1, 2, ..., n–1

Propriétés
La somme des racines nièmes de 1 est nulle: Avec les puissances de 2:
Exemple pour n = 3 1 + ( – 0,5 + 0,5 3 i ) + ( – 0,5 – 0,5 3 i ) = 0 { 2 – ( – 0,5 + 0,5 3 i ) } { 2 – ( – 0,5 – 0,5 3 i ) } = 7 = 2^3 – 1 Exemple pour n = 4 1 + (– 1) + i + (– i) = 0 { 2 – (–1) } { 2 – ( i ) } { 2 – ( –i ) } = 5

Valeurs des racines nièmes de l'unité

1

1

2

1 , – 1

3
	1 – 0, 5 0, 8660254040 x I

4	1, –1, I, – I

5
	1 0, 3090169945 0, 9510565160 x I - 0, 8090169945 0, 5877852520 x I

6
	1, –1 0, 5000000000 0, 8660254040 x I

7

1 cos(2/7 x Pi) + I x sin(2/7 x Pi) - cos(3/7 x Pi) + I x sin(3/7 x Pi) - cos(1/7 x Pi) + I x sin(1/7 x Pi) - cos(1/7 x Pi) - I x sin(1/7 x Pi) - cos(3/7 x Pi) - I x sin(3/7 x Pi) cos(2/7 x Pi) - I x sin(2/7 x Pi)

1 0, 6234898018 + 0, 7818314825 x I -0, 2225209335 + 0, 9749279123 x I -0, 9009688678 + 0, 4338837393 x I -0, 9009688678 - 0, 4338837393 x I -0, 2225209335 - 0, 9749279123 x I 0, 6234898018 - 0, 7818314825 x I

8
	1, -1, i, - i ± 0, 7071067810 ± 0, 7071067810 x I

9
	1, 0, 1736481778 ± 0, 9848077531 x I 0, 5000000000 ± 0, 8660254040 x I 0, 7660444430 ± 0, 6427876095 x I -0, 9396926208 ± 0, 3420201435 x I

10
	1, -1 ± 0, 3090169945 ± 0, 9510565160 x I ± 0, 8090169945 ± 0, 5877852520 x I

FONCTIONS CYCLOTOMIQUES ou polynômes cyclotomiques
N	Les racines de ces équations sont les racines nièmes complexes de l'unité
1	x – 1
2	x + 1
3	x^2 + x + 1
4	x^2 + 1
5	x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
6	x^2 – x + 1
7	x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
8	x^4 + 1
9	x^6 + x^3 + 1
10	x^4 – x^3 + x^2 – x + 1 Notation ^ pour puissance
11	x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
12	x^4 – x^2 + 1
13	x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
14	x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1
15	x^8 – x^7 + x^5 – x^4 + x^3 – x + 1
16	x^8 + 1
17	x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
18	x^6 – x^3 + 1
19	x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
20	x^8 – x^6 + x^4 – x^2 + 1
21	x^12 – x^11 + x^9 – x^8 + x^6 – x^4 + x^3 – x + 1
22	x^10 – x^9 + x^8 – x^7 + x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1
23	x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
24	x^8 – x^4 + 1
25	x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1
26	x^12 – x^11 + x^10 – x^9 + x^8 – x^7 + x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1
27	x^18 + x^9 + 1
28	x^12 – x^10 + x^8 – x^6 + x^4 – x^2 + 1
29	1 + x + x^3 + x^4 + x^2 + x^6 + x^5 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^12 + x^11 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^18 + x^17 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^28 + x^26 + x^27 + x^25 + x^24 + x^23
30	x^8 + x^7 – x^5 – x^4 – x^3 + x + 1

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