NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres complexes

RACINES

La forme polaire se prête aisément au calcul de la racine nième d'un nombre complexe.

Abraham de Moivre (1667 – 1754 / 87 ans)

Mathématicien français.

Pour des raisons religieuses, il est emprisonné (1685 à 1688), puis s'exile en Angleterre. Rappel: 1685 – révocation de l'édit de Nantes par Louis XIV. À Londres, il rencontre Halley et Newton, puis Leibniz.

Étant âgé, il déclare qu’il lui est nécessaire de dormir chaque nuit ¼ heure de plus que la nuit précédente. En calculant cette progression arithmétique, il en déduisit le jour de sa mort. Et, effectivement, la nuit dépassant les 24 heures, il est mort durant son sommeil ! Rapporté par David Wells.

La formule de Stirling pour calculer les grandes factorielles doit beaucoup à la formule initiale de De Moivre.

FORMULE de MOIVRE et d'EULER
Formule de Moivre (vers 1730) n étant un nombre entier Note: parfois cos + sin est noté cis Écriture avec parenthèses, si confusion possible Écriture exponentielle Formules d'Euler (Rappel) La formule de De Moivre serait plutôt due à Euler (1748) qui l'a énoncée sans vraiment la démontrer.

Voir Euler / Formule et identité d'Euler / Les quatre constantes / Trigonométrie / Exponentielle
Application a la linéarisation des fonctions trigonométriques

Déclinaison
z	=	r (cos + i sin )
z ^n	=	r ^n ( cos n + i sin n )
(cos + i sin )^n	=	cos (n ) + i sin (n )
ln z	=	ln r + i
	=
(cos + i sin) ( cos' + i sin') = cos( + ') + i sin( + ') La formule se démontre par récurrence en utilisant cette identité. Voir Multiplication polaire

Propriétés
Si n est rationnel, une des valeurs de la puissance est Si, de plus, n = p / q avec q positif et p et q premiers entre eux, alors cette puissance prend q valeurs distinctes, dont l'une est celle indiquée ci-dessus.

Racines des nombres négatifs
Principe Le calcul passe par la connaissance de la racine énième de (-1): Avec théta = (2k + 1) Pi: Exemple avec racine quatrième de -16 Avec k = 0, 1, 2, 3, on trouve:

Voir Racines quatrièmes

Racines des complexes
Soit un nombre complexe et son conjugué (exemple, la racine de 3 est là pour faire croire que c'est plus compliqué).
Comparez les racines cubiques de ces deux nombres. Que vaut leur somme.
Écrivons ces nombres sous la forme générique trigonométrique:	a = r (cos + i sin ) b = r (cos – i sin )
Leur racine cubique
Les racines (comme les puissances) de nombres conjugués restent conjuguées. Leur somme est un nombre réel.
Pour information Diverses formes: complexe numérique trigonométrique (polaire) puissance de i	= 1 + 1, 732… i
Et sa racine cubique:	= 1,259921050… (0,9396926208… + 0,3420201433… i) = 1,183938513… + 0,4309183781… i

Bilan

La formule de Moivre permet de calculer les valeurs des sinus et cosinus des multiples et fractions des angles.

Voir Formulaire de trigonométrie

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Sites	De Moivre's identity – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/aaaCompl/Moivre.htm