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ÉQUATIONS du 2e degré Exemple du loueur de vélos Exemple
d'un problème concret résolu. Ici, il ne s'agit pas de trouver les racines,
mais de déterminer le maximum de la fonction du second degré. |
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Un vélo
se loue à la journée pour 25 €. À ce prix là, tous les jours le loueur a 100
clients. Il estime
que chaque augmentation de ce prix de 0,5 € lui fera perdre un client. Il
réfléchit et se rend compte qu'en augmentant le prix, il serait encore
gagnant sur la journée. Jusqu'où
peut-il aller? Quelle recette quotidienne, pour combien de vélos et à quel
prix? |
S'il loue ses
100 vélos à 25 euros, il gagne G = 2500 euros par jour. À 25,5 euros,
il n'en louerait que 99 soit: G = 26 x 99 = 2524,5 euros, ce qui est plus
intéressant. Jusqu'où
peut-il aller comme cela: 98, 97, 96 … vélos? Quel est le gain quotidien maximum? |
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Illustration En
horizontal (abscisse) la quantité de vélos loués. En vertical (ordonnées) le
prix de la location. Les rectangles (x . y) représentent le gain quotidien
(G).
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Soit x le
nombre de vélos loués, x est inférieur à 100. Ils sont
loués à: 25 + 0,5 (100 – x) euros. Et le
gain se calcule comme indiqué ci-contre. |
Équation G = (25 + 0,5
(100 – x)) x = 25x + 50x – 0,5x² = – 0,5x² + 75x = x (– 0,5x + 75) Pour information
Les racines sont: x =
0 et x = 150 S'agissant d'une
fonction du deuxième degré, son graphe est une parabole. Alors, on pressent
que le maximum sera au milieu, soit x = 75. |
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Méthode
1 Nous
connaissons les paraboles et nous savons que le maximum est atteint pour – b
/ 2a. |
G = - 0,5x² + 75x a = - 0,5 b = 75 Max = 75/(2 x 0,5) = 75 |
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Méthode
2 Utilisation
d'un tableur et recherche de la valeur maximale. Initialiser
avec 100 et 99 en indiquant les valeurs et en faisant calculer le produit.
Puis sélectionnez ces six cellules et tirez la poignée en bas à droite vers
le haut aussi longtemps que nécessaire. Vous
observez que le maximum est situé entre 70 et 80 et, plus précisément pour la
valeur 75. Soit la
réponse immédiate:
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Initialisation
Recherche
du maximum
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Méthode
3 Nous construisons
la courbe de gain en fonction de la quantité de vélos loués. Cette méthode
est une variante de la précédente, car, une fois les valeurs du tableur
établies, il suffit de demander le dessin de la courbe. Le maximum est
visible pour x = 75. Autre
possibilité: faire dessiner la courbe avec un logiciel de calcul mathématique
comme Maple et la commande
plot. |
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Méthode
4 Calcul de la dérivée et recherche de son
passage à la valeur 0 qui indique que la fonction n'augment plus et va se mettre
à décroitre. |
Fonction: G = - 0,5x² + 75x Sa dérivée: G' = - 0,5 (1/2) x + 75 = - x + 75 La dérivée est nulle pour x = 75 Alors G vaut: -0,5 (75)² + 75 . 75 = 75²
(1-0,5) = 2 812,5 € Coût de la location: 2 812,5 / 75 = 37,5 €/jour |
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Compte
tenu des données du problème, sa mise en équation donne: G = - 0,5x² + 75x et sa dérivée est: - x +
75 qui s'annule pour x = 75. Soit
la réponse à la question: le loueur peut ne louer que 75 vélos et il
obtiendra un chiffre d'affaires maximum; et moins de coût de maintenance; au
détriment, cependant, de la satisfaction du plus grand nombre … Note:
le mot gain a été utilisé pour
signifier ce que gagne le loueur. Le vrai terme pour cette rentrée d'argent
est chiffres d'affaires. Après
avoir payé toutes ses dépenses, il lui restera un pécule qui constituera son bénéfice. S'il lui manque de l'argent
pour couvrir ses frais, il sera en pertes. Voir Ma petite entreprise (gérée par
un junior) |
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