Sommes des puissances cinquièmes avec nombres positifs et négatifs

Édition du: 26/03/2025

INDEX Types de nombres	n = somme de puissances
	Entiers	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange	Somme de n puissances Théorème de Waring
	Somme de puissances 4	Sommes de carrés	Sommes de cubes
	Somme de puissances 5	Somme de puissances 5 - PN

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Nombres 5P5_pn

Nombres égaux à la somme de cinq puissances cinquièmes (5P5), mais avec nombres positifs et négatifs (5P5pn).
Ce que l'on sait et table des valeurs jusqu'à n = 1000 (on notera une couverture à 40% avec termes jusqu'à 200⁵).

Exemple

Sommaire de cette page

>>> Cinq puissances cinquièmes

>>> Table des 5P5pn pour n de 1 à 1000

Débutants

Nombres

Glossaire

Nombres

Voir Nombre 5

Cinq puissances cinquièmes			haut
Nombres 5P5 et 5P5pn Tout nombre peut être exprimé par la somme d'au plus 37 puissances de 5 de nombres positifs. Mais souvent, moins de termes suffisent. Alors, par exemple, quels sont les nombres sommes de cinq puissances cinquièmes (5P5) par addition de nombres strictement positifs ? Ils ne sont pas si nombreux. Ici, on donne une chance supplémentaire en autorisant les puissances cinquièmes de nombres négatifs. La puissance de ces nombres négatifs sera elle-même négative. Ex: (-2)⁵ = - 32		6 = 7⁵ + 13⁵ + 17⁵ + (-15)⁵ + (-16)⁵ = 1 807 957 – 1 807 951 Notez l'équivalence sans les parenthèses 6 = 7⁵ + 13⁵ + 17⁵ – 15⁵ – 16⁵
Équations diophantiennes Avec des nombres négatifs, la somme S de cinq puissances cinquièmes équivaut à une équation diophantienne équilibrant les puissances négatives par des puissances positives, au nombre S près.	7⁵ + 13⁵ + 17⁵ = 15⁵ + 16⁵ + 6 1 807 957 = 1 807 951 + 6 Problème qui revient donc à chercher les nombres tels que: a⁵ + b⁵ + c⁵ = d⁵ + e⁵ + k Et toutes les autres combinaisons des cinq puissances, comme: a⁵ = b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵ + k

Quantité de 5P5

Avec des nombres de 1 à 100, il y a 363 nombres égaux à la somme d'exactement cinq puissances cinquièmes. Soit 363 / 1000 = 36%.

Ce sont les nombres indiqués dans la table ci-dessous.

999 = 8⁵ + 25⁵ + (-11)⁵ + (-20)⁵ + (-23)⁵

= 8⁵ + 25⁵ – 11⁵ – 20⁵ – 23⁵

= 9 798 393 – 9 797 394

État des connaissances

Si on connait les seuils pour les nombres positifs, nous ne disposons d'aucune information concernant l'emploi des nombres négatifs avec les puissances cinquièmes.

Le calcul de ces seuils est plus compliqué que dans le cas strictement positif.

Pour les nombres positif, chaque terme est limité à, au plus, la racine cinquième du nombre.

Alors qu'avec les nombres négatifs, il n'y a pas de limite: le nombre cherché est la différence de deux sommes de puissances cinquièmes aussi grandes soient elles.

g(n) = 37
Tous les nombres sont sommes au plus de 34 puissances cinquièmes de nombres positifs.

G(n) ≤ 17
Tous les nombres supérieurs à une certaine limite sont somme de 17 puissances cinquièmes de nombres positifs.

eg(n) = ?
Tous les nombres sont sommes au plus de (valeur inconnue) puissances cinquièmes de nombres positifs ou négatifs.

Table des 5P5_pn pour n de 1 à 1000			haut
Table Calcul des sommes de cinq puissances cinquième avec des nombres positifs et négatifs pour les nombres de 1 à 1000. Il y a 361 nombres avec nombres de 1 à 100 et 57 en plus avec nombres jusqu'à 150 et jusqu'à 200. En rouge, somme de nombres positifs exclusivement. En mauve clair: solutions trouvées par P. De Geest		S = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵
Liste des 418 nombres de la table ci-dessous (termes jusqu'à 200) Quelques solutions ajoutées au-delà de 200 Couverture 418/1000 = 41,8%	1, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 52, 54, 56, 57, 61, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 76, 78, 83, 85, 87, 88, 92, 94, 96, 98, 99, 102, 107, 108, 109, 111, 115, 119, 122, 124, 127, 129, 130, 133, 140, 142, 144, 146, 148, 151, 154, 155, 157, 160, 162, 164, 165, 166, 168, 173, 175, 176, 177, 179, 181, 186, 188, 189, 190, 192, 193, 195, 197, 199, 200, 201, 204, 206, 208, 210, 212, 214, 218, 219, 223, 225, 230, 232, 237, 239, 241, 242, 243, 245, 247, 250, 253, 254, 256, 259, 261, 263, 265, 267, 271, 272, 274, 276, 277, 278, 283, 285, 286, 287, 294, 296, 298, 299, 305, 307, 308, 309, 311, 317, 319, 320, 325, 327, 330, 332, 333, 338, 340, 341, 342, 343, 344, 351, 352, 353, 360, 361, 363, 364, 366, 371, 372, 373, 374, 375, 377, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 390, 394, 395, 397, 398, 403, 404, 406, 408, 409, 410, 415, 417, 419, 421, 423, 427, 428, 430, 439, 441, 443, 448, 450, 452, 454, 455, 456, 462, 463, 470, 472, 474, 476, 483, 485, 487, 489, 492, 493, 498, 501, 503, 505, 507, 514, 516, 517, 518, 520, 522, 525, 527, 531, 532, 534, 536, 538, 539, 540, 542, 544, 547, 549, 550, 551, 557, 558, 560, 563, 569, 571, 573, 574, 575, 577, 582, 584, 586, 591, 595, 597, 602, 604, 605, 606, 607, 608, 613, 615, 617, 626, 628, 635, 636, 637, 639, 640, 641, 647, 649, 650, 652, 657, 658, 659, 660, 662, 665, 672, 673, 674, 683, 685, 688, 690, 692, 693, 694, 696, 698, 701, 707, 711, 712, 713, 715, 716, 718, 725, 727, 729, 730, 731, 735, 736, 743, 745, 747, 749, 750, 751, 759, 760, 761, 762, 769, 770, 773, 774, 776, 778, 779, 780, 782, 784, 786, 791, 793, 800, 802, 805, 806, 811, 813, 815, 819, 824, 826, 827, 828, 829, 833, 835, 837, 844, 846, 848, 849, 850, 851, 852, 856, 862, 864, 866, 868, 869, 870, 871, 875, 877, 879, 880, 881, 883, 890, 892, 894, 895, 896, 900, 901, 902, 903, 904, 910, 911, 914, 924, 925, 927, 929, 934, 940, 946, 955, 956, 957, 958, 960, 962, 967, 970, 971, 973, 976, 977, 978, 979, 980, 989, 991, 992, 993, 995, 998, 999.

Solutions pour exactement cinq termes

S = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵

S	a	b	c	d	e
1	-1	-1	1	1	1
3	-1	1	1	1	1
5	1	1	1	1	1
6	-16	-15	7	13	17
8	-78	-38	18	65	71
10	-17	-1	-1	13	16
11	-41	-8	22	29	39
12	-7	3	4	6	6
13	-638	-481	39	487	636
14	-28	-13	8	20	27
17	-15	-1	7	13	13
19	-42	-20	-19	29	41
20	-59	-15	23	46	55
21	-4	-4	-4	-2	5
22	-121	-28	4	79	118
23	-131	-30	-23	78	129
24	-132	-49	9	102	124
25	-60	-57	14	31	67
28	-1	-1	-1	-1	2
30	-1	-1	-1	2	1
31	-33	-20	-20	10	34
32	-1	-1	2	1	1
34	-1	1	1	2	1
35	-47	-21	25	33	45
36	1	1	1	1	2
42	-977	-726	-445	-181	1021
43	-47	-21	31	40	40
44	-104	-83	-17	18	110
45	-17	1	2	13	16
46	-11	4	4	9	10
47	-50	-14	27	37	47
50	-15	2	7	13	13
52	-4	-4	-4	-1	5
53	-237	-143	-89	41	241
54	-4	-4	-4	1	5
56	-35	-28	-5	30	34
57	-105	-70	47	86	99
61	-1	-1	-1	2	2
63	-1	-1	2	2	1
64	-38	16	22	29	35
65	-1	1	2	2	1
67	1	1	1	2	2
68	-57	13	22	34	56
69	-72	-5	3	42	71
70	-73	-18	44	47	70
71	-74	-40	-32	56	71
74	-587	-36	149	362	576
75	-212	-42	20	182	187
76	-17	2	2	13	16
77	-262	74	144	168	253
78	-19	-2	6	16	17
79	-408	-186	-96	335	374
80	-2010	-1297	-849	1443	1983
83	-15	-15	-4	10	17
85	-4	-4	-4	2	5
86	-307	-42	121	160	304
87	-78	-8	44	55	74
88	-25	-6	17	20	22
89	-1063	95	749	787	961
92	-99	-94	-18	12	111
94	-1	-1	2	2	2
96	-1	2	2	2	1
98	1	1	2	2	2
99	-11	-4	5	9	10
100	-608	-173	-45	323	603
101	-560	-226	-55	461	511
102	-32	-26	3	3	34
107	-178	10	10	123	172
108	-32	7	21	22	30
109	-34	-3	-2	26	32
111	-19	1	6	16	17
115	-2	-2	-2	-2	3
118	-1025	-335	623	868	887
119	-42	-30	-3	33	41
120	-609	-262	-239	229	611
122	-26	-17	-16	4	27
123	-326	-315	-181	187	368
124	-23	-21	-17	9	26
127	-1	2	2	2	2
128	-1148	-528	502	882	1080
129	1	2	2	2	2
130	-48	8	29	37	44
131	-440	-396	-333	384	466
133	-17	-16	-6	3	19
140	-34	-3	-1	26	32
142	-34	-3	1	26	32
143	-703	-577	-512	175	770
144	-50	-31	-19	-17	51
145	-241	-234	-79	66	273
146	-2	-2	-2	-1	3
148	-2	-2	-2	1	3
150	-719	-231	96	585	659
151	-124	-82	-27	-13	127
154	-34	-31	-22	-7	38
155	-23	4	15	19	20
156	-1636	-1161	-1188	1461	1570
157	-51	-46	6	12	56
160	2	2	2	2	2
162	-48	-36	-15	32	49
164	-9	-8	-6	-3	10
165	-74	-54	-31	7	77
166	-7	-6	-6	-3	8
168	-162	-160	-113	25	188
173	-34	-3	2	26	32
175	-16	6	8	12	15
176	-119	-108	-62	-57	132
177	-2	-2	-1	-1	3
179	-1	-2	-2	3	1
181	-2	-2	1	1	3
182	-328	-262	-5	10	347
185	-1412	-22	294	734	1401
187	-425	-185	66	333	398
186	-37	-13	-7	28	35
188	-31	-21	-18	16	32
189	-65	-56	47	47	66
190	-5	3	4	4	4
192	-32	-30	14	26	34
193	-25	-23	-15	-12	28
195	-70	-48	-18	19	72
197	-15	-14	-13	12	17
198	-251	-237	-163	225	264
199	-6	-6	-4	-2	7
200	-56	-44	-19	20	59
201	-35	-27	-19	5	37
204	-37	-15	13	28	35
206	-71	-42	2	5	72
208	-2	-1	-1	-1	3
210	-1	-2	-1	3	1
212	-1	-2	1	3	1
214	-2	1	1	1	3
218	-166	47	88	123	156
219	-108	-17	6	93	95
223	-17	-2	3	13	16
225	-13	-13	-7	3	15
230	-6	-6	-4	-1	7
232	-6	-6	-4	1	7
237	-9	-5	-5	8	8
239	-1	-1	-1	-1	3
241	-1	-1	-1	3	1
242	-25	-22	8	14	27
243	-1	-1	3	1	1
245	-1	1	1	3	1
247	1	1	1	1	3
250	-93	-85	41	83	94
253	-119	-74	-18	43	121
254	-17	-1	3	13	16
256	-17	1	3	13	16
259	-5	-5	-4	-3	6
261	-15	3	7	13	13
263	-3	-3	-3	-2	4
265	-8	-8	-4	6	9
267	-10	-7	-4	9	9
271	-108	-93	-60	55	117
272	-1	-1	-1	2	3
274	-1	-1	2	3	1
276	-1	1	2	3	1
277	-44	-24	30	37	38
278	1	1	1	2	3
283	-114	-96	10	106	107
285	-159	-48	101	135	136
286	-65	16	18	44	63
287	-17	2	3	13	16
294	-3	-3	-3	-1	4
296	-4	-4	-4	3	5
298	-70	18	34	37	69
299	-21	-11	-5	16	20
305	-1	-1	2	2	3
307	-1	2	2	3	1
308	-88	-34	47	58	85
309	1	1	2	2	3
311	-127	-91	71	93	125
317	-60	-15	30	33	59
319	-37	-16	11	25	36
320	-34	-2	-2	26	32
325	-80	-75	-48	-12	90
327	-3	-3	-3	2	4
330	-42	-30	-2	33	41
332	-94	60	60	77	79
333	-30	-3	14	26	26
338	-1	2	2	2	3
340	1	2	2	2	3
341	-79	-60	-58	71	77
342	-14	-8	11	11	12
343	-30	-29	19	20	33
344	-7	5	5	5	6
351	-34	-2	-1	26	32
352	-82	-16	44	58	78
353	-34	-2	1	26	32
360	-8	-3	-3	7	7
361	-42	-30	-1	33	41
363	-42	-30	1	33	41
364	-73	-59	32	64	70
366	-21	-21	-21	13	26
371	2	2	2	2	3
372	-191	-16	99	164	166
373	-156	-130	-116	-27	172
374	-66	-30	-27	42	65
375	-9	-8	-6	-2	10
377	-7	-6	-6	-2	8
382	-34	-1	-1	26	32
383	-129	-80	-64	-16	132
384	-50	-34	26	32	50
385	-127	-60	-60	88	124
386	-34	1	1	26	32
387	-81	37	55	67	69
390	-2	-2	-2	3	3
394	-42	-30	2	33	41
395	-38	-5	12	32	34
397	-32	-26	-3	4	34
398	-51	-50	-22	49	52
403	-27	-22	-15	-12	29
404	-36	-31	-15	29	37
406	-9	-8	-6	-1	10
408	-9	-8	-6	1	10
409	-28	11	20	21	25
410	-7	-6	-6	1	8
415	-34	-1	2	26	32
417	-34	1	2	26	32
419	-19	-15	5	8	20
421	-2	-2	-1	3	3
423	-2	-2	1	3	3
427	-14	-11	-9	-4	15
428	-42	-16	-7	35	38
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835	-4	-4	-3	1	5
837	-20	-19	-15	-2	23
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896	-2	-2	-2	-2	4
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910	-8	2	2	7	7
911	-12	-5	8	9	11
914	-27	13	16	16	26
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956	-93	-60	-21	15	95
957	-115	-58	-44	70	114
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967	-85	-82	-35	54	95
968	-220	-139	-57	145	219
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971	-5	4	4	4	4
973	1	3	3	3	3
976	-119	-56	-54	-25	120
977	-48	-9	25	33	46
978	-179	-117	62	101	181
979	-10	-9	-4	1	11
980	-6	-6	-3	-2	7
989	-2	-1	-1	-1	4
991	-1	-2	-1	4	1
992	-66	-40	-40	20	68
993	-1	-2	1	4	1
995	-2	1	1	1	4
998	-37	-31	7	34	35
999	-23	-20	-11	8	25

Autres solutions

List of sum of fifth powers compiled by Patrick De Geest

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Voir	Bi, tripartitions Carré des triangulaires = somme de cubes Cubes Nombre = sommes de cubes Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Puissances quatrièmes (bicarrés) Puissance = somme de puissances Table des puissances des nombres Somme multi puissantes Unité des puissances
Sites	Waring's problem – Wolfram MathWorld Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Partition/SomP5pn.htm