NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/08/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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CHIFFRE des UNITÉS

4	3	2	5	6
…	Millier	Centaine	Dizaine	Unité

Ce chiffre au bout à droite des nombres!

Celui qui montre si le nombre est pair ou impair.

Souvent insignifiant car il ne pèse pas lourd devant les autres chiffres des dizaines, centaines, milliers …

Mais qui peut avoir son mot à dire dans certaines démonstrations.

Devinette

Considérez les produits 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4, etc.

Ajoutez les unités.

Combien de produits sont nécessaire pour avoir une somme égale à 100?

Solution

EN GÉNÉRAL

Unité: chiffre de poids le plus faible dans notre système de numération.

Nom	…	Milliers	Centaines	Dizaines	Unités
Nombre		2	5	7	6
Valeurs		2 x 1000	5 x 100	7 x 10	6 x 1

Signe de reconnaissance des nombres pairs et impairs. ce sont ceux qui sont terminés par:

Pairs 0 2 4 6 8

Impairs 1 3 5 7 9

Critère immédiat de divisibilité

Divisible par	Si unités =
2	0, 2, 4, 6, 8
5	0, 5
10	0

Devinette

Quels sont les huit nombres égaux à un multiple de leur unité?

Il en existe quatre avec les dizaines:

125 = 25 x 5

150 = 50 x 3

250 = 50 x 5

375 = 75 x 5

ISOLER L'UNITÉ
Organigramme pour trouver le chiffre des unités

Calcul sur tableur - (avec Excel)

Voici le calcul pas à pas

Voici les formules à taper dans les cellules

Note: on peut épargner une étape en utilisant la fonction QUOTIENT qui donnera directement l'entier de la division par 10.

Programmation - (avec Mapple) for nombre from 110 to 125 do dizaines := trunc(nombre/10): unites := nombre - 10*dizaines: lprint (nombre, dizaines, unites): od: Commentaires La procédure d'itération démarre par for et on donne les limites de l'exploration Le travail à exécuter pour chaque valeur explorée est encadré par do et od. La commande trunc élimine les décimales (tronque). La multiplication s'écrit * pour ne pas confondre avec la lettre x. La commande lprint permet d'obtenir les résultats que l'on souhaite au moment choisi. Autrement, il est possible d'obtenir tous les résultats de calcul intermédiaires en mettant ";" au lieu des ":" à la fin de chaque instruction.

Exécution 110, 11, 0 111, 11, 1 112, 11, 2 113, 11, 3 114, 11, 4 115, 11, 5 116, 11, 6 117, 11, 7 118, 11, 8 119, 11, 9 120, 12, 0 121, 12, 1 122, 12, 2 123, 12, 3 124, 12, 4 125, 12, 5

Voir Extraction des chiffres d'un nombre / Algorithmes / Arrondis

UNITÉS DES PUISSANCES - Règle
Un nombre s'écrit, en isolant les unités N = … + 1000m + 100c + 10d + u N = 10 ( …100m + 10c + d) + u N = 10 a + u Calculons les puissances de cette expression en utilisant ce que nous savons des identités remarquables. Tous calculs faits, on trouve: (10a + u)^2 = (10a + u)^3 = (10a + u)^4 = (10a + u)^5 = Nous constatons que le terme hors unité (u^k) est divisible par 10. Ce qui veut dire que le chiffre des unités du nombre porté à une puissance est tout simplement égal au chiffre des unités porté à cette puissance. Si N = … U Alors N^k = … u avec u unité de U^k Par exemple: 12² = 12544 se termine par 44 comme 12² = 144 16^3 = 4 096 se termine par 6 comme 6^3 = 216. Autres exemples:
11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361	11^3 = 1331 12^3 = 1728 13^3 = 2197 14^3 = 2744 15^3 = 3375 16^3 = 4096 17^3 = 4913 18^3 = 5832 19^3 = 6859

Voir Unité et dizaines des carrés

508 853 989 ² = 25 893 238 21 21 21 21 21 1 318 820 881 ² = 173 928 851 61 61 61 61 61

Si un carré se termine par xy xy xy xy xy alors xy = 21, 61 ou 64. Celui-ci en 21 est le plus petit.

UNITÉS DES PUISSANCES - Table

La puissance fait tourner la tête aux unités …

Les puissances

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

n³ 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

n⁴ 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000

n⁵ 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000

n⁶ 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000

n⁷ 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000

n⁸ 1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000

n⁹ 1 512 19683 262144 1953125 10077696 40353607 134217728 387420489 1000000000

n¹⁰ 1 1024 59049 1048576 9765625 60466176 282475249 1073741824 3486784401 10000000000

Leurs unités

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	Suite des nombres
n^2	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	Symétrie par rapport au 5 (ou 0). Hors le 6, l'unité de la racine est un chiffre ou son complément à 10.
n^3	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0	Tous les chiffres dans le désordre. Somme identiques des symétriques (1+9 = 2+8 …) L'unité de la racine cubique est la même pour 145690 et le complément à 10 pour 2378.
n^4	1	6	1	6	5	6	1	6	1	0	Répétition du motif 1616 avec symétrie. Hors 0 et 5, le 1 est l'unité d'une puissance 4 d'un nombre impair et 6 pour les pairs.
n^5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	Suite des chiffres. Puissance et nombre ont même unité.
n^6	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	Idem puissance 2.
n^7	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0	Idem puissance 3.
n^8	1	6	1	6	5	6	1	6	1	0	Idem puissance 4.
n^9	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	Idem puissance 1
n^10	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	Idem puissance 2. Etc.
										10^k	Toujours 0.
									9^k	Alternance 9 1.
								8^k	Succession 8 4 2 6(comme 2 dans l'autre sens).
							7^k	Succession 7 9 3 1 (comme 3 dans l'autre sens).
						6^k	Toujours 6.
					5^k	Toujours 5.
				4^k	Alternance 4 6.
			3^k	Succession 3 9 7 1.
		2^k	Succession 2 4 8 6.
	1^k	Toujours 1.

Voir Comment trouver les derniers chiffres des puissances

Nombre et ses puissances – mêmes unités

Sur la base des tableaux ci-dessus, on s'intéresse aux nombres et leurs puissances ayant le même chiffre des unités, comme 2^5 = 32 ou 9^3 = 729. Le tableau suivant résume toutes les possibilités prises par "u" de 0 à 9 pour toutes les puissances k de 2 à 20. Exemples de lecture: Colonne du "2": seuls les nombres en 5 ou 6 ont un carré terminé par 5 ou 6 respectivement. Voir les colonnes "5" et "6" des tableaux ci-dessus. Par exemple: 16² = 256. Ligne du "2": tous les nombres qui se terminent par 2 ont aussi une puissance 5, 9, 13 ou 17 qui se termine par 2. Par exemple: 12^17 = 2 218 611 106 740 436 992 Les nombres qui possèdent cette propriété sont dits automorphiques. Toutes les puissances des nombres en 5 ou en 6 se terminent par 5 ou 6 respectivement. Par exemple: 25^6 = 244 140 625 ou 26^5 = 11881376. Tous les nombres à la puissance 5, 9, 13 ou 17 (soit en n = 4k + 1) ont même unité que le nombre lui-même. Par exemple: 2^13 = 8 192, 3^13 = 1 594 323, 4^13 = 67108864. Les puissances 4k+1 d'un nombre reproduit son unité: Voir les automorphiques à deux chiffres / Racine treizième

Chercher l'unité
Premier cas
Trouver la quantité k de zéro et le chiffre u des unités.	4^20 x 5^65	= ….u000…0k
Calcul sur les puissances:	4^20 x 5^65	= 2^40 x 5^40 + 25
		= 2^40 x 5^40 x 5^25
		= 10^40 x 5^25
Premier facteur:	10^40	1 suivi de 40 zéros
Second facteur:	5^25	= un nombre qui se termine par 5. (5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; …5 x 5 = …5)
Solution:	k u	= 40 = 5
Nombre : 2 980 232 238 769 531 250 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Deuxième cas – Exposants inversés
Trouver la quantité k de zéro et le chiffre u des unités	4^65 x 5^20	= ….u000…0k
Calcul sur les puissances	4^65 x 5^20	= 2^130 x 5^20
		= 2^110+20 x 5^20
		= 2^110 x 2^20 x 5^20
		= 10^20 x 2^110
Premier facteur	10^20	1 suivi de 20 zéros
Second facteur	2^110	= 2^110 = 2^4 x 27 + 2 Avec un reste de 2, la puissance de 2 se termine par 4.
Solution	k u	= 20 = 4
Nombre: 129 807 421 463 370 690 713 262 408 230 502 400 000 000 000 000 000 000

Devinette – Solution

Solution C'est un fait remarquable: les unités des produits n (n + 1) sont en 2, 6, 2, 0 et 0, et cela régulièrement. Tous les cinq produits, la somme augmente de 10. Pour arriver à 100, il faut 50 produits. Soit: 50 x 51. Pour être plus précis, la somme ronde est atteinte avec le produit situé deux crans avant. Soit 48 x 49. Explication Forme générique d'un nombre en isolant son chiffre des unités: 10d + u Produit: (10d + u)(10d + u +1) = 100d² + 20du + 10d + u² + u = 10(10d² + 2du + d) + u² + u Le chiffre des unités du produit est celui de la somme: u² + u. Le tableau liste toutes les valeurs possibles de u, de u² + u et de son chiffre des unités.

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DicoNombre	Nombre 1 Nombre 262 Nombre 14 569
Voir	Addition - Glossaire Addition - Initiation Puissances Puissances quatrième Racine cinquième Unités des produits
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