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Édition du: 27/03/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de nombres	n = somme de puissances
	Entiers	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange	Somme de n puissances Théorème de Waring
	Somme de puissances 4	Sommes de carrés	Sommes de cubes
	Somme de puissances 5	Somme de puissances 5 - PN

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Nombres P5 Plusieurs points d'intérêts avec les puissances des nombres entiers: combien de puissances cinquièmes sont nécessaires au plus pour partitionner les nombres? quels sont les partitions des nombres en cinq puissances cinquièmes? Est-ce toujours possible? Quels sont les nombres plusieurs fois sommes de k puissances cinquièmes? Quels sont les puissances cinquièmes sommes de k puissances cinquièmes? On s'intéresse aux sommes de puissances cinquièmes des entiers positifs, de même que les entiers relatifs. Alors les puissances cinquièmes sont positives ou négatives. Pour une introduction et certaines curiosités avec les puissances cinquièmes, voir la page générale: Exemples
	Sommaire de cette page >>> Puissances cinquièmes >>> Cas des nombres 100 et 952 (exemples) >>> Tables des kP5 avec k nombres positifs	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Voir Nombre 5

Puissances cinquièmes		haut
Théorème de Waring pour la puissance 5 Tout nombre entier est décomposable en sommes d'au plus 37 puissances cinquièmes Les nombres suffisamment grands sont décomposables en sommes d'au plus 17 puissances cinquièmes.	État des connaissances g(n) = 37 Tous les nombres sont sommes au plus de 34 puissances cinquièmes de nombres positifs. G(n) ≤ 17 Tous les nombres supérieurs à une certaine limite sont somme d'au plus 17 puissances cinquièmes de nombres positifs. Au-delà de 87 918, on conjecture que les nombres sont sommes d'au plus 17 puissances cinquièmes positives. Au-delà de 77 529 941, on conjecture que les nombres sont sommes d'au plus 10 puissances cinquièmes positives
Il est classique de s'intéresser aux partitions des nombres en cinq puissances cinquièmes. Les nombres peuvent être répétés ou distincts. Et aussi, trouver une puissance cinquième décomposable en cinq puissances cinquièmes.	1 934 917 632 = 72^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5

Cas des nombres 100 et 952 (exemples)		haut
Nombre 100 La méthode pour calculer la partition du nombre 100 en puissance de 5 consiste naturellement à déduire le maximum de fois les puissances décroissantes. Aucun puissance de 3; 3 puissance de 2 convient et il reste 4. Soit la partition: 100 = 2^5 + 2^5 + 2^5 + 1^5 + 1^5 + 1^5 + 1^5 Notée: P(100) = [4, 3, 0] Comprenant : Q = 4 + 3 + 0 = 7 termes.	100 = 3 × 2^5 + 4 × 1^5 = 3 × 32 + 4
Nombre 952 Ce nombre nous réserve une surprise ! La méthode par puissances décroissantes donne (ligne essai E1): P(952) = [31, 6, 3] avec Q = 40 termes. On sait que Q ne devrait pas dépasser 37. Il faut chercher une autre partition en diminuant la quantité de termes en 3^5. L'essai E2 donne: P(952) = [18, 14, 2] avec Q = 34 termes. C'est mieux, mais poursuivons. L'essai E3 donne: P(952) = [5, 22, 1] avec Q = 28 termes. C'est la plus petite partition.	952 = 3^5 + 22 × 2^5 + 5 × 1^5 = 243 + 22 × 32 + 5
Autres exemples de minimisation Le nombre 287 est supérieur à 3^5 = 243 et sa partition est: 287 = 3^5 + 1 × 2^5 + 12 × 1^5 La partition du suivant pourrait être: 288 = 3^5 + 1 × 2^5 + 13 × 1^5 (15 termes) Mais, il est possible de diminuer la quantité de termes: 288 = 9 × 2^5 (9 termes)
Autre exemple La méthode par puissances dégressives donne 42 termes pour 3000, alors qu'en retirant une puissance de 4 et en l'exprimant en puissances de 3, la partition passe à 10 termes seulement.	3000 = 2×4^5 + 3×3^5 + 6×2^5 + 31×1^5 (42 termes) 3000 = 1×4^5 + 8×3^5 + 1×2^5 + 0×1^5 (10 termes)

Record de termes		haut
Avec 37 termes, le maximum Le tableau donne les plus petits nombres dont les partitions nécessitent Q termes par ordre croissant. Le nombre 223 est le plus petit entier, et le seul, qui nécessite 37 termes pour sa partition en puissances cinquièmes positives. Le nombre suivant passe à exactement 7 fois la puissance 5 de 2: 224 = 7 × 2^5 (7 termes).	223 = 6 × 2^5 + 31 × 1^5 = 6 × 32 + 31

Tables des kP5 avec k nombres positifs			haut
P5		0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, 11881376, 14348907, 17210368, 20511149, … OEIS A000584
2P5		2, 33, 64, 244, 275, 486, 1025, 1056, 1267, 2048, 3126, 3157, 3368, 4149, 6250, 7777, 7808, 8019, 8800, 10901, 15552, 16808, 16839, 17050, 17831, 19932, 24583, 32769, 32800, 33011, 33614, 33792, 35893, 40544, 49575, 59050, 59081, 59292, 60073, 62174, 65536, 66825, 75856, … OEIS A003347
3P5		3, 34, 65, 96, 245, 276, 307, 487, 518, 729, 1026, 1057, 1088, 1268, 1299, 1510, 2049, 2080, 2291, 3072, 3127, 3158, 3189, 3369, 3400, 3611, 4150, 4181, 4392, 5173, 6251, 6282, 6493, 7274, 7778, 7809, 7840, 8020, 8051, 8262, 8801, 8832, 9043, 9375, 9824, 10902, 10933, … OEIS A003348
4P5		4, 35, 66, 97, 128, 246, 277, 308, 339, 488, 519, 550, 730, 761, 972, 1027, 1058, 1089, 1120, 1269, 1300, 1331, 1511, 1542, 1753, 2050, 2081, 2112, 2292, 2323, 2534, 3073, 3104, 3128, 3159, 3190, 3221, 3315, 3370, 3401, 3432, 3612, 3643, 3854, 4096, 4151, 4182, 4213, 4393, 4424, 4635, 5174, 5205, 5416, 6197, 6252, 6283, 6314, 6494, 6525, 6736, 7275, 7306, 7517, 7779, 7810, 7841, 7872, 8021, 8052, 8083, 8263, 8294, 8298, 8505, 8802, 8833, 8864, 9044, 9075, 9286, 9376, 9407, 9618, 9825, 9856, 10067, 10399, 10848, 10903, 10934, 10965 … OEIS A003349
5P5		5, 36, 67, 98, 129, 160, 247, 278, 309, 340, 371, 489, 520, 551, 582, 731, 762, 793, 973, 1004, 1028, 1059, 1090, 1121, 1152, 1215, 1270, 1301, 1332, 1363, 1512, 1543, 1574, 1754, 1785, 1996, 2051, 2082, 2113, 2144, 2293, 2324, 2355, 2535, 2566, 2777, 3074, 3105, 3129, 3136, 3160, 3191, 3222, 3253, 3316, 3347, 3371, 3402, 3433, 3464, 3558, 3613, 3644, 3675, 3855, 3886, 4097, 4097, 4128, 4152, 4183, 4214, 4245, 4339, 4394, 4425, 4456, 4636, 4667, 4878, 5120, 5175, 5206, 5237, 5417, 5448, 5659, 6198, 6229, 6253, 6284, 6315, 6346, 6440, 6495, 6526, 6557, 6737, 6768, 6979, 7221, 7276, 7307, 7338, 7518, 7549, 7760, 7780, 7811, 7842, 7873, 7904, 8022, 8053, 8084, 8115, 8264, 8295, 8299, 8326, 8330, 8506, 8537, 8541, 8748, 8803, 8834, 8865, 8896, 9045, 9076, 9107, 9287, 9318, 9322, 9377, 9408, 9439, 9529, 9619, 9650, 9826, 9857, 9861, 9888, 10068, 10099, 10310, 10400, 10431, 10642, 10849, 10880, 10904, 10935, 10966, 10997…. OEIS A003350

5P5 2 fois et plus	4097, 51446, 51477, 51688, 52469, 54570, 59221, 68252, 68905, 84213, 110494, 131104, 151445, 212496, 300277, 325174, 325713, 355114, 422135, 422738, 589269, 637418, 794434, 810820, 876734, 876765, 876976, 877757, 879858, 884509, 893540, 909501, 924912, 935782, 976733, 995571, 1037784, 1083457, …. OEIS A342685
5P5 3 fois et plus	13124675, 28055699, 50043937, 52679923, 53069024, 55097976, 57936559, 60484744, 62260463, 62445305, 70211956, 73133026, 79401728, 80368962, 84766210, 88512249, 93288865, 98824300, 106993391, 113055482, 117173891, 120968132, 123383875, 126416258, 131106051, 131529588, 132022925, OEIS A342687

Nombres sommes de jusqu'à 15 puissances 5			haut
1 à 15 P5 49 nombres sur 100 ont des partitions avec moins de 16 termes. Les autres nécessitent plus de termes. Pae exemple de 15 à 32, il faut ajouter des 1. Ainsi, 31 nécessite 31 termes.		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 96, 97, 98, 99

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Suite	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange S'y retrouver – Index Théorème de Waring Sommes des puissances cinquièmes de 1 à n Sommes des puissances de 5 de k = 1 à n Puissance 5 magique
Voir	Bi, tripartitions Carré des triangulaires = somme de cubes Cubes Nombre = sommes de cubes Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Puissances cinquièmes (bicarrés) Puissance = somme de puissances Table des puissances des nombres Somme multi puissantes Unité des puissances
Sites	Waring's problem – Wolfram MathWorld Conjecture d'Euler – Wikipédia Integers that are not the sum of positive powers – Brennan Benfield and Oliver Lippard – 2024
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