NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/11/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Lignes trigonométriques de Pi/9 >>> Calcul du cosinus de Pi/9 >>> Calcul du cosinus de 2Pi/9 >>> Calcul du sinus de Pi/9 >>> Calcul du sinus de 2Pi/9 >>> Multiples et multiplications

Trigonométrie de Pi/9 = 20°

Cet angle est le demi-angle au centre de l'ennéagone. Il est impliqué dans la construction type neusis de ce polygone à neuf côtés.

Les lignes trigonométriques de cet angle font intervenir des racines cubiques. La construction exacte de l'ennéagone est donc impossible à la règle et au compas. (Le nombre 9 n'est pas le produit de nombres de Fermat premiers distincts)

Voir Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

Lignes trigonométriques de Pi/9

Formules de calcul avec Pi/9

Angle	Trigo	Valeurs	Décimal
	Sinus		0,34202014332566873304…
9-gone	Cosinus		0,93969262078590838405…
Ennéagone	Tangente		0,36397023426620236135…
	Cotangente		2,7474774194546222787…

Note: Attention à ne pas confondre 1 avec l'imaginaire i.

Voir Tables de ces formules en Pi / n

Autres formules de calcul avec Pi/9 et méthode de calcul

Le coefficient en puissance de 2 est conservé sous la racine cubique

Les approximations indiquées sont utilisées pour la construction approximative de l'ennéagone.

Approximation utilisée par Dürer:

Calcul du cosinus de Pi/9
MÉTHODE 1 L'angle triple (60°) est connu. On utilise une identité invoquant l'angle triple.	4x^3 – 3x = 1/2
La résolution de l'équation donne trois solutions dont celle-ci.
MÉTHODE 2 Solution plus astucieuse et "plus facile" à calculer avec la formule de Moivre
Demi-somme
Avec 3a = 60°
Avec une multiplication par 4 et extraction de 8^1/3 = 2
Histoire de conjugué Pour réconcilier les deux formules trouvées.

Voir Calcul des racines cubiques des nombres complexes

Calcul du cosinus de 2Pi/9
Avec 3a = 120°
Avec une multiplication par 4 et extraction de 8^1/3 = 2

Calcul du sinus de Pi/9
MÉTHODE 1 L'angle triple (60°) est connu. On utilise une identité invoquant l'angle triple.
Mise en équation avec sin (20°) = x
Résolution d'une équation du troisième degré On donne la valeur de x et la valeur d'arcsin(x)	Soit trois racines réelles pour la valeur de x -0,9848077530… => - 80,000… 0,3420201434… => 20,000… 0,6427876097… => 40,000…
Confirmation avec le graphe
Par calcul (fastidieux) ou avec un logiciel de calcul, la deuxième racine s'exprime par
Qui peut se résumer (pas facilement !) en:
Vérification avec un logiciel mathématique (Maple).

MÉTHODE 2
Demi-différence
Avec 60°
Petit calcul	= 0,3420201433…

Suite en Justification de la construction de l'ennéagone

Voir Équation du troisième degré – Résolution trigonométrique

Calcul du sinus de 2Pi/9
Avec 3a = 120°
Avec une multiplication par 4 et extraction de 8^1/3 = 2

A noter: multiples multipliés
Identités particulières Voir Loi de Morrie
Identité de Ramanujan	= 0,4934146259…

Retour	Division du cercle en parts égales
Bases	Trigonométrie – Débutant Trigonométrie – Tables Trigonométrie – Formulaire, identités, relations
Voir	Angles Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques Calculs en trigonométrie (avancés) Calculs en trigonométrie (simples) Ennéagone et Pi/9 Faire le tour du cercle (relations de base) Heptagone et Pi/7 Sinus et aire du triangle isocèle Table trigonométrique pour angles en fraction de Pi
Aussi	Triangle Pentagone Identités remarquables
Sites	Trigonometry Angles Pi/9 – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Pisur9.htm