NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sch(pairs) = Scc(impairs)		Sch(n) = Sch(facteurs)	Ch(n) ≠ Ch(n^k)
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Chiffres des nombres

et de leurs puissances

Quels sont les nombres qui ne partagent pas les mêmes chiffres que leurs puissances?

Exemples

17² = 289

24⁴ = 331 776

22 224⁸ = 59 508 338 830 857 933 650 783 316 083 736 576

Aucun chiffre en commun.

Voir Table des nombres ayant la même somme des chiffres de leurs puissances

Approche
Général Parmi les 16 puissances N^k présentées dans le tableau, seules la moitié (8) sont des nombres dont les chiffres sont différents de ceux du nombre N. Cas des nombres en 5 et en 0 Le nombre 5 à une puissance quelconque se termine toujours par un 5. C'est le cas pour tous les nombres se terminant par 5. Même chose pour les nombres terminés par 0.	Tableau des puissances N^k
Cas des puissances 5 et 9 La page sur les unités des puissances montre que, avec les puissances 5 et 9, les unités sont celles du nombre de départ. Cette remarque tient pour toutes les puissances en 5 + 4k: 5, 9, 13, 17, 21 …	Exemples 7^5= 16 807 7^9 = 40 353 607

Records
Il est naturel de penser qu'avec un grand nombre, la probabilité d'avoir des chiffres en commun avec sa puissance k est grande et même improbable.	Le record (testé jusqu'à 2 millions) 22 224^8 = 59 508 338 830 857 933 650 783 316 083 736 576 = 5,9 10^34
Avec les carrés, les élus sont nombreux: 31 nombres jusqu'à 100. Voir liste jusqu'à n = 1000 La liste ci-contre, établie pour N jusqu'à 20 millions, ne montre les valeurs de N que lorsque N passe à la dizaine supérieure.	N, N² 2, 4 4, 16 17, 289 33, 1089 144, 20736 333, 110889 1447, 2093809 3249, 10556001 14144, 200052736 32272, 1041481984 141494, 20020552036 322599, 104070114801 1414414, 2000566963396 3226362, 10409411755044 14144134, 200056526609956

Programmation – Cas de la recherche des carrés
	Initialisation (toutes les mémoires à zéro). Recherche entre 2 et 100. N est la liste des chiffres de n. Effet de la conversion en base 10 de n. k = 2 pour la recherche sur les carrés. L est la liste des chiffres de la puissance k de n. Ns et Ls sont les listes des chiffres uniques de n (en N) et de la puissance (en L) , et cela sous l'effet de la demande d'un ensemble avec les accolades { et }. T est la concaténation de ces deux listes, et S est la même liste réduite aux chiffres uniques. Si ces deux listes contiennent la même quantité de chiffres (nops), imprimer (lprint) le nombre et le carré (A) retenu. La partie commençant par A = 0 est nécessaire pour imprimer un nombre dans sa forme décimale normale. En effet, la liste L contient les chiffres dans l'ordre inverse. On les remet à l'endroit en les pondérant de la puissance de 10 due à son rang. En bleu, le début de la liste créée par le programme. Le nombre 2 et son sont retenus; de même que 3 et son carré 9; etc. Suite ci-dessous

Voir Programmation – Index

Liste des nombres n'ayant aucun chiffre en commun avec leurs puissances

En rouge les repdigits

Carré	Cube	P4
1 000	10 000	10 000
2, 4 3, 9 4, 16 7, 49 8, 64 9, 81 17, 289 18, 324 22, 484 24, 576 29, 841 33, 1089 34, 1156 38, 1444 39, 1521 44, 1936 47, 2209 53, 2809 54, 2916 57, 3249 58, 3364 59, 3481 62, 3844 67, 4489 72, 5184 77, 5929 79, 6241 84, 7056 88, 7744 92, 8464 94, 8836 144, 20736 157, 24649 158, 24964 173, 29929 187, 34969 188, 35344 192, 36864 194, 37636 209, 43681 212, 44944 224, 50176 237, 56169 238, 56644 244, 59536 247, 61009 253, 64009 257, 66049 259, 67081 307, 94249 313, 97969 314, 98596 333, 110889 334, 111556 338, 114244 349, 121801 353, 124609 359, 128881 377, 142129 388, 150544 404, 163216 409, 167281 424, 179776 437, 190969 444, 197136 447, 199809 449, 201601 454, 206116 459, 210681 467, 218089 533, 284089 547, 299209 552, 304704 554, 306916 557, 310249 558, 311364 559, 312481 567, 321489 577, 332929 612, 374544 638, 407044 659, 434281 667, 444889 672, 451584 673, 452929 677, 458329 688, 473344 689, 474721 707, 499849 712, 506944 729, 531441 738, 544644 739, 546121 744, 553536 747, 558009 749, 561001 767, 588289 772, 595984 779, 606841 787, 619369 788, 620944 789, 622521 799, 638401 807, 651249 812, 659344 813, 660969 814, 662596 834, 695556 838, 702244 844, 712336 853, 727609 854, 729316 858, 736164 862, 743044 868, 753424 904, 817216 909, 826281 922, 850084 924, 853776 929, 863041 939, 881721	2, 8 3, 27 7, 343 8, 512 22, 10648 27, 19683 43, 79507 47, 103823 48, 110592 52, 140608 53, 148877 63, 250047 68, 314432 77, 456533 92, 778688 157, 3869893 172, 5088448 177, 5545233 187, 6539203 188, 6644672 192, 7077888 222, 10941048 223, 11089567 252, 16003008 263, 18191447 303, 27818127 378, 54010152 408, 67917312 423, 75686967 442, 86350888 458, 96071912 468, 102503232 477, 108531333 478, 109215352 487, 115501303 527, 146363183 552, 168196608 558, 173741112 577, 192100033 587, 202262003 588, 203297472 608, 224755712 648, 272097792 692, 331373888 707, 353393243 772, 460099648 808, 527514112 818, 547343432 823, 557441767 843, 599077107 888, 700227072 918, 773620632 922, 783777448 1448, 3036027392 1457, 3092990993 1552, 3738308608 1587, 3996969003 1592, 4034866688 1813, 5959274797 2222, 10970645048 2522, 16041140648 3008, 27216576512 3532, 44061784768 3663, 49148555247 3953, 61770404177 4047, 66282611823 4113, 69578670897 4342, 81859569688 4432, 87056109568 4542, 93700388088 4657, 100999381393 4732, 105958111168 5442, 161166810888 5522, 168379496648 5523, 168470990667 5558, 171694201112 5592, 174864434688 5657, 181033328393 5692, 184414333888 5777, 192800032433 5848, 199996360192 5887, 204024399103 6058, 222324747112 6378, 259449922152 6603, 287888218227 6653, 294477807077 6777, 311252219433 6778, 311390022952 7077, 354443965533 7147, 365065965523 7157, 366600498893 7177, 369682454233 7658, 449103134312 7887, 490609013103 7992, 510465535488 8008, 513537536512 8287, 569104495903 8313, 574477920297 8338, 579676470472 8388, 590167467072 8488, 611527670272 8577, 630966396033 9192, 776658405888 9343, 81556587660	2, 16 3, 81 4, 256 7, 2401 8, 4096 9, 6561 24, 331776 27, 531441 28, 614656 32, 1048576 33, 1185921 42, 3111696 52, 7311616 53, 7890481 58, 11316496 59, 12117361 67, 20151121 77, 35153041 88, 59969536 89, 62742241 93, 74805201 202, 1664966416 203, 1698181681 258, 4430766096 284, 6505390336 303, 8428892481 324, 11019960576 329, 11716114081 377, 20200652641 383, 21517662721 422, 31713911056 669, 200310848721 818, 447726927376 832, 479174066176 843, 505022001201 878, 594262141456 882, 605165749776 887, 619005459361 949, 811082161201 2027, 16881653995441 2042, 17386931815696 2673, 51050010415041 3144, 97708005789696 3222, 107771057488656 3253, 111978914476081 3302, 118879857465616 3308, 119746272522496 3737, 195025945198561 3773, 202650285909841 3953, 244178407711681 3979, 250666188018481 3983, 251675665475521 4779, 521612658223281 5353, 821086616942881 5669, 1032822827028721 5888, 1201907943079936 5889, 1202724664663041 7303, 2844495182448481 7708, 3529935939133696 7747, 3601921336288081 7777, 3658039542829441 7993, 4081682805026401 8009, 4114463127334561 8277, 4693445949195441 8308, 4764155754762496 8777, 5934503542561441 8872, 6195639394963456 8888, 6240453963943936 9059, 6734743171761361 9249, 7317776107088001 9332, 7584010410578176

P6

1 million

2, 64

3, 729

8, 262144

9, 531441

13, 4826809

14, 7529536

22, 113379904

33, 1291467969

44, 7256313856

52, 19770609664

72, 139314069504

77, 208422380089

87, 433626201009

92, 606355001344

222, 119706531338304

322, 1114641555517504

622, 57908499008855104

7737, 214504091852545821889809

7878, 239053914054595145623104

30302, 774154714896544166667417664

44449, 7712087862231603625058020801

72777, 148581553656300331996955013489

844844, 363629530013266201512325739310125056

P7

1 million

3, 2187

7, 823543

8, 2097152

33, 42618442977

43, 271818611107

77, 16048523266853

93, 60170087060757

272, 110149448801189888

332, 444597059414048768

662, 55719335194973979008

7757, 1689882622864926680809344293

31333, 29649259480984782858578077020877

P8

2 millions

3, 6561

4, 65536

8, 16777216

9, 43046721

22, 54875873536

33, 1406408618241

43, 11688200277601

54, 72301961339136

59, 146830437604321

73, 806460091894081

222, 5899616690476974336

233, 8686550888106661441

353, 241100240228887100161

712, 66045000696445844586496

777, 132852016394056063004481

22224, 59508338830857933650783316083736576

P10

1 million

3, 59049

9, 3486784401

18, 3570467226624

877, 269150960295439095031490496649

5757, 39991002806361029603330301048290190249

P11	P12
3, 177147 12, 743008370688	2, 4096 4, 16777216 33, 1667889514952984961

P14

P15

Suite	Voir liste en en-tête Somme-Produit des chiffres – Index Somme des chiffres de nombres portés à une puissance Nombres à barres en lettres Nombres amicaux et sociables Table des nombres ayant la même somme des chiffres de leurs puissances
Voir	Allumettes et nombres Bases de numération Chiffres à barre – Comparaison Chiffres en lettres Nombres en toutes lettres Numération - historique Pannumérique Partition des nombres en somme de puissance Unité des puissances
DicoNombre	Nombre 3 Nombre 8 Nombre 9 Nombre 33 Nombre 712 Nombre 777 Nombre 22 223 Nombre 31 333 Nombre 844 844
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