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Édition du: 27/02/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Permutations Combinatoire Motifs Nombres à motifs Types de nombres	Types de Nombres – Motifs
	Uniformes	Ondulants	Répétitions	Formes diverses
	Ascendants	Ondulants d'Euler	Zigzag (Euler)	Croissants
		Zébrés

NOMBRES alternés d'EULER Permutations alternées Ondulants en 1, 2, 3, … Nombres ondulants d'Euler: nombres formés à partir des permutations des chiffres de 1 à n, en ne retenant que celles qui commencent par croitre puis décroitre et croitre, etc.
	Sommaire de cette page >>> Approche avec n = 2 et n = 3 >>> Cas n = 4, 5 et 6 >>> Liste >>> Historique >>> Calcul de An	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Anglais: Euler up and down numbers / Alternating permuations / Zigzag permuations / André's problem

Approche avec n = 2 et n = 3		haut
Cas de n = 2 Parmi les deux permutations, une seule est croissante (chiffres croissants).	[1, 2] A2 = Quantité type Euler = 1 [2, 1] P2 = Quantité de permutations = 2
Cas de n = 3 Il y a six permutations de [1, 2, 3] dont quatre sont alternées, mais seulement deux sont comptabilisées, car les deux premiers chiffres sont croissants.	P3 = 3! = 6 et A3 = 2

Cas de n = 4, n = 5 et n = 6							haut
n = 4 P4 = 4! = 24 A4 = 5	Permutations alternées croissantes (directe ou up-down) [1, 3, 2, 4] [1, 4, 2, 3] [2, 3, 1, 4] [2, 4, 1, 3] [3, 4, 1, 2]			Permutations alternées décroissants (inverse ou down-up) [2, 1, 4, 3] [3, 1, 4, 2] [3, 2, 4, 1] [4, 1, 3, 2] [4, 2, 3, 1]
n = 5 P5 = 5! = 120 A5 = 16 Illustration graphique è	[1, 3, 2, 5, 4] [1, 4, 2, 5, 3] [1, 4, 3, 5, 2] [1, 5, 2, 4, 3] [1, 5, 3, 4, 2] [2, 3, 1, 5, 4] [2, 4, 1, 5, 3] [2, 4, 3, 5, 1] [2, 5, 1, 4, 3] [2, 5, 3, 4, 1] [3, 4, 1, 5, 2] [3, 4, 2, 5, 1] [3, 5, 1, 4, 2] [3, 5, 2, 4, 1] [4, 5, 1, 3, 2] [4, 5, 2, 3, 1]
n = 6 P6 = 6! = 720 A6 = 61	[1, 3, 2, 5, 4, 6] [1, 3, 2, 6, 4, 5] [1, 4, 2, 5, 3, 6] [1, 4, 2, 6, 3, 5] [1, 4, 3, 5, 2, 6] [1, 4, 3, 6, 2, 5] [1, 5, 2, 4, 3, 6] [1, 5, 2, 6, 3, 4] [1, 5, 3, 4, 2, 6] [1, 5, 3, 6, 2, 4] [1, 5, 4, 6, 2, 3] [1, 6, 2, 4, 3, 5] [1, 6, 2, 5, 3, 4] [1, 6, 3, 4, 2, 5] [1, 6, 3, 5, 2, 4] [1, 6, 4, 5, 2, 3]		[2, 3, 1, 5, 4, 6] [2, 3, 1, 6, 4, 5] [2, 4, 1, 5, 3, 6] [2, 4, 1, 6, 3, 5] [2, 4, 3, 5, 1, 6] [2, 4, 3, 6, 1, 5] [2, 5, 1, 4, 3, 6] [2, 5, 1, 6, 3, 4] [2, 5, 3, 4, 1, 6] [2, 5, 3, 6, 1, 4] [2, 5, 4, 6, 1, 3] [2, 6, 1, 4, 3, 5] [2, 6, 1, 5, 3, 4] [2, 6, 3, 4, 1, 5] [2, 6, 3, 5, 1, 4]		[2, 6, 4, 5, 1, 3] [3, 4, 1, 5, 2, 6] [3, 4, 1, 6, 2, 5] [3, 4, 2, 5, 1, 6] [3, 4, 2, 6, 1, 5] [3, 5, 1, 4, 2, 6] [3, 5, 1, 6, 2, 4] [3, 5, 2, 4, 1, 6] [3, 5, 2, 6, 1, 4] [3, 5, 4, 6, 1, 2] [3, 6, 1, 4, 2, 5] [3, 6, 1, 5, 2, 4] [3, 6, 2, 4, 1, 5] [3, 6, 2, 5, 1, 4] [3, 6, 4, 5, 1, 2]	[4, 5, 1, 3, 2, 6] [4, 5, 1, 6, 2, 3] [4, 5, 2, 3, 1, 6] [4, 5, 2, 6, 1, 3] [4, 5, 3, 6, 1, 2] [4, 6, 1, 3, 2, 5] [4, 6, 1, 5, 2, 3] [4, 6, 2, 3, 1, 5] [4, 6, 2, 5, 1, 3] [4, 6, 3, 5, 1, 2] [5, 6, 1, 3, 2, 4] [5, 6, 1, 4, 2, 3] [5, 6, 2, 3, 1, 4] [5, 6, 2, 4, 1, 3] [5, 6, 3, 4, 1, 2]

Liste des valeurs successives de An		haut
Nombres ondulants d'Euler (Qe) A0 = 1 A5 = 5	1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361, …

Historique		haut
Ce type de permutations alternées fut étudié par Désiré André (1840-1917), un mathématicien français. En 1895, il écrit: Mémoire sur les permutations quasi-alternées. Le calcul de la quantité de permutations alternées (An) est appelé le problème d'André (1879)	André définit une permutation alternée en faisant la différence entre les chiffres successifs et en constatant l'alternance des signes.

Problème d'André – Calcul de An		haut
La fonction génératrice des nombres An est simplement le développement de la somme de sécante (x) et tangente (x). Théorème d'André An = numérateur de chacune de ces fractions non simplifiées avec pour dénominateurs une factorielle. A2n sont les nombres sécants A2n+1 sont les nombres tangents Voir Nombres zigzags d'Euler

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Suite	Nombres zigzags d'Euler (suite de cette page) Brève 429
Voir	Nombres à motifs – Index Fonctions génératrices Boustrophédon Permutations à motifs
Sites	Alternating permutation – Wikipedia Alternating permutation – Wolfram MathWorld OEIS A000111 – Euler or up/down numbers: e.g.f. sec(x) + tan(x). Also for n >= 2, half the number of alternating permutations on n letters OEIS A001250 – Number of alternating permutations of order n Alternating Permutations** – Richard P. Stanley – M.I.T. – Preuve du théorème d'André – Diaporama de 119 pages A Survey of Alternating Permutations** – Richard P. Stanley - La théorie en pdf de 32 pages
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