Nombres, curiosités, théorie et usages: sommes de consécutifs égales à un multiple du nombre qui précède ou qui succède

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/09/2020 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Consécutifs Sommes	De 1 à 100	Particulières	4+5+6 = 7+8 et autres
		Sommaire de cette page >>> De 1 à n = k (n+1) >>> De n à n+d = k fois suivant >>> De n à n+d = k fois somme des suivants >>> De n à n+d = k fois précédant >>> De n à n+d = puissance du suivant >>> Bilan

Somme de nombres consécutifs

On connaît la somme 1 + 2 + 3 + 4 = 5 x 2 = 10, égale au double du nombre qui suit. Quelles sont les configurations de ce type? Pas si répandues que cela!

Par exemple: 3 + 4 + 5 = 6 x 2 = 12

En bref, nous cherchons donc des sommes de nombres consécutifs avec deux nombres successifs de part et d'autre du signe égal.

Somme de 1 à n = k fois le suivant

Nous savons calculer la somme des n premiers nombres consécutifs et nous voulons la comparer à k fois le nombre suivant:

Nous constatons que ce cas est relativement banal, l'égalité est satisfaite pour k = n/2 avec n pair pour obtenir k entier.

Etc.

Somme de n à n + d = k fois le suivant

Cas identique au précédent, en commençant la somme n et non par 1.

La formulation est simple: on calcule la somme jusqu'à n+d et on lui retire la somme jusqu'à n.

La condition recherchée s'écrit:

Rien d'évident! Une recherche systématique le prouve.
Voici les configurations jusqu'à d = 10.

Somme de n à n + d

= k (les r suivants)

Nous recherchons les sommes de nombres consécutifs égales à un multiple de la somme des nombres suivants.

Pour des deux suivants, la condition recherchée s'écrit:

Rares également!

Pour des trois et quatre suivants:

Seuls cas existants pour n <1000, k <100 et d jusqu'à 10.

Somme de n à n + d

= k fois le précédant

Nous cherchons simplement les sommes de nombres consécutifs commençant pas n et multiple de n-1.

Exemple: 5 + 4 = 3 x 3 = 9

Formulation:

Pas grand-chose à attendre de cette formule. Par contre, une exploration montre qu'il existe un grand nombre de possibilités:

Coquetterie pour les deux dernières sommes: elles finissent par l'inversé du nombre de départ.

Pour quelques unes, la somme des nombres symétriques permet de calculer la somme totale et donne immédiatement le facteur multiplicatif. Comme pour 3 + 4 + 5 + 6 = (3 + 6) + (4 + 5) = 2 x 9 .

Somme de n à n + d = k (n+d+1)^q