somme des entiers, inverses, alternés ...

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/01/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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SOMME des ENTIERS

avec nombres consécutifs (2/2)

Suite de la page sur la somme des entiers: quelques propriétés et curiosités.

Exemple: la somme des entiers jusqu'au nombre 3 additionnée à la somme des entiers jusqu'au nombre 5 est égale à la somme des entiers jusqu'au nombre 6. >>>

Étonnant ! – Sommes partielles d'entiers

Observations

Théorème

La somme de k + 1 nombres successifs

à partir de k²

est égale à la somme des k suivants.

Voir Suite avec l'énigme des cinq pots / Brève 48-956

Somme des entiers successifs – Rappel

Théorème

La somme des entiers successifs produit les nombres triangulaires.

S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n

= n ( n + 1 ) / 2 = T_n

Notez que parmi les deux nombres n et n + 1, l'un est pair et l'autre impair; le produit est toujours divisible par 2.
La somme S_n est bien un entier!

Valeurs

Rang T_n

0 0

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15

6 21

7 28

8 36

9 45

10 55

100 5 050

1 000 501500

10 000 50015000

100 000 5000150000

n n ( n + 1 ) / 2

Approche de la formule (somme des entiers consécutifs)	Exemple	Formulation
Prenons l'exemple:	1 + 2 + 3 + 4 = 10	1 + 2 + ... + n
La moyenne de ces 4 nombres est:	10 / 4 = 2,5 = ½ 5	½ (n + 1)
Si on veut leur somme, on multiplie par la quantité de nombres.	4 x ½ 5 = 10	½ n (n + 1)

Somme des entiers sur une plage

Exemple

Formulation

Somme des entiers de m à n:

4 + 5 + 6 = 15

m = 4 et n = 6

= 1/2 (6x7 – 3x4)

= 30/2 = 15

Somme de n entiers consécutifs supérieurs à n ou nombre pentagonaux du deuxième ordre

S = 6 + 7 + 8 + 9 + 10

= (3x5² + 5) / 2

= 40

Somme des entiers à k chiffres

Approche

S(2) = 100 + 101 + … + 999 = 4 905

La somme des nombres à deux chiffres est égale à 4 905.

C'est la somme de tous les nombres jusqu'à 999, diminuée de la somme de ceux jusqu'à 99.

Formule générique

Si a = 10^k et b = a/10

Exemple k = 3: S(3) = 99 x 100³ / 200 – 9 x 10³ / 20 = 495 000 – 450 = 494 550

Allure du nombre

Tous ces nombres sont de la forme: 494 99…9_k-3 55 00…0_k-2

Exemple k = 10: S(10) = 494 9999999 55 00000000

Démonstration

Il faut ajouter les nombres de 10^k-1 à 10^k – 1.

Soit 10^k – 1 – 10^k-1 + 1 = (10 – 1) 10^k-1 = 9 10^k-1 termes.

Il s'agit d'une progression arithmétique:

Table des sommes des nombres à k chiffres (k, S)

Formule générique pour tout k

Allure de la somme pour k > 2

S(k) = 494 99…9_k-3 55 00…0_k-2

Voir Brève 800

Cas des cartes à jouer: somme des points

Application

Compter le nombre de points dans un jeu de cartes.

Note

Au Rami comme pour le Black Jack, les figures comptent pour 10 points. L'as compte pour 1 ou 11 points.

Suite >>>

Entiers manquants
Une application de la somme des entiers. Énigme En faisant la somme des entiers de 1 à n avec n < 11, un enfant trouve 40. Visiblement, il a oublié de compter un nombre. Lequel ? Réponse C'est le 5 qui manque	Solution par recherche On dresse ce petit tableau avec les sommes des entiers de 1 à n qui se trouvent autour de 40: La somme des entiers jusqu'à 8 (½ 8 x 9 = 36) ne convient pas car trop petite. Celle jusqu'à 9 (= 45) est juste suffisante, et la différence 5 est sans doute le nombre oublié. La suivante (= 55) jusqu'à 10 présente un excès de 15; mais, ce nombre dépasse ceux de la somme considérée: elle ne va que jusqu'à 10. Le nombre 15 est donc à écarter. Seule solution: l'enfant a fait la somme des nombres de 1 à 9 en oubliant le 5. Solution par équation Traduction sous forme d'équation: 40 = ½ n (n + 1) – x 80 = n (n + 1) – 2x 2x = n (n + 1) – 80 Il faut trouver deux nombres consécutifs dont le produit est supérieur à 80. Le premier de la sorte est 9 x 10 = 90 2x = 90 – 80 et x = 5 Il s'agit donc de la somme des nombres jusqu'à 9 sans le 5. Vérification ½ (9 x 10) – 5 = 45 – 5 = 40 Essayons le produit suivant: 10 x 11 2x = 110 – 80 et x = 15 15 est trop grand puisqu'il s'agit de la somme des nombres de 1 à 10.
Même énigme mais l'enfant à oublié deux nombres. Impossible!	Dans ce cas, pour faire 5, il aurait oublié les couples: (1, 4) ou (2, 3). Exemple: 1 ~~+ 2 + 3~~ + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 – 5 = 40 Et pour faire 15 avec un total de 55, donc sans dépasser 10: (5, 10), (6, 9) ou (7, 8). Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ~~+ 6~~ + 7 + 8 ~~+ 9~~ + 10 = 55 – 15 = 40 La somme suivante est 66. L'écart serait de 26, inatteignable avec des nombres inférieurs ou égaux à 11.

Voir Énigme du nombre manquant connaissant la moyenne / Énigmes – Index

Merci à Yann pour sa relecture attentive

Égalité avec somme des entiers
Que penser de cette égalité?
On connait la formulation de la somme des entiers.
Après développement et simplification.
Existe-t-il des solutions? OUI, par exemple:	3² + 5² – 6² = 6 – 3 – 5 9 + 25 – 36 = -2
En effet, on retrouve les sommes des entiers:	1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Autres cas Première solution (avec répétition).	2² + 2² – 3² = 3 – 2 – 2 = –1
Il y a 15 solutions pour a, b et c jusqu'à 25. Il y a 98 solutions pour a, b et c jusqu'à 100, et 1 699 jusqu'à 1000. Exemple de lecture En dernière ligne: S₁₄ + S₁₈ = S₂₃ = 1 + 2 + 3 + … + 14 + 1 + 2 + 3 + … + 18 = 1 + 2 + 3 + … + 23	Note: les cas (9, 13, 16) et (11, 20, 23) montrent que l'égalité est possible même si les trois nombres sont premiers entre eux deux à deux.

Cas de quatre sommes
Un exemple des plus simples.
Les 12 solutions pour a, b, d et d jusqu'à 10.

Égalité avec somme des carrés
Sur notre lancée, que penser de cette égalité avec des carrés?
On connait la formulation de la somme des carrés.
Tous calculs faits:
Existe-t-il des solutions? OUI	25 585 + 31 395 = 56 980
Les 14 solutions pour a, b et c jusqu'à 1000

Cas de quatre sommes

Exemples =>

Il y a 56 cas pour a, b, c et d jusqu'à 100, comme =>

4, 5, 5, 7

4, 6, 10, 11

10, 10, 14, 17

43, 51, 85, 94 (le plus grand)

Sommes de k entiers consécutifs

k = 2

k = 3

n + (n+1) = 2n + 1 Nombre impair

(n–1) + n + (n+1) = 3n Nombre divisible par 3

Etc. Trivial

Sommes et différences de k entiers consécutifs
So / k = 2	n + (n – 1) = 2n – 1 Trivial	3 + 2 = 2x3 – 1 = 5
Dif / k = 2	n – (n – 1) = 1 Trivial	3 – 2 = 1
So / k = 3	(n + 1) + n + (n – 1) = 3n	4 + 3 + 2 = 3x3 = 9
	n + (n – 1) + (n – 3) = 3n – 3	4 + 3 + 2 = 4x3 – 3 = 9
Dif / k = 3	(n + 1) + n – (n – 1) = n + 2	4 + 3 – 2 = 3 + 2 = 5
So / k = 4	(n + 1) + n + (n – 1) + (n – 2) = 4n – 2	5 + 4 + 3 + 2 = 4x4 – 2 = 14
	n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) = 4n – 6	5 + 4 + 3 + 2 = 4x5 – 6 = 14
Dif / k = 4	(n + 1) – n – (n – 1) + (n – 2) = 0	5 – 4 – 3 + 2 = 0 5 + 2 = 3 + 4

Voir Nombres consécutifs – Sommes / Produits

Somme des puissances de 9: triangulaire
La somme des puissances successives de 9 est un nombre triangulaire.
Il s'agit dune suite géométrique de raison 9
Nombre triangulaire: somme des entiers consécutifs de 1 à m.
Deux expressions pour S₉.
Puissance de 9 mise sous la forme d'un carré.
Calcul de m (identité remarquable)
En fonction de m
Valeur de m
Exemple: n = 5
Vérification

Voir Brève 431 pour d'autres propriétés de cette somme

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