NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/10/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres premiers factoriels

Famille	Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers … / Types de nombres premiers et cousins
Approche	Un nombre factoriel, produit de tous les entiers jusqu'à n, n'est éminemment pas premier et de loin (sauf 2! = 1 x 2 = 2 qui est premier; c'est le seul). Exemple 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 est divisible par au moins 2, 3, 4 ,5 En fait les diviseurs de 120 sont 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120. Par contre, on peut s'intéresser à ces nombres en leur ajoutant ou retranchant 1. 5! – 1 = 119 = 7 x 17: il n'est pas premier 5! + 1 = 121 = 11² : il n'est pas premier 3! – 1 = 5 : premier 3! + 1 = 7 : premier
Définition	Nombre premier factoriel Nombre premier en n! – 1 ou n! + 1

Propriétés

Les nombres premiers factoriels se situent dans une zone qui compte de plus en plus de nombres composés selon que n est grand. En effet: Considérons les nombres N = n! + m avec m < n m est nécessairement l'un des facteurs de n! et, alors, n! = k.m Notre nombre N devient N = k.m + m qui est divisible par m, N est un nombre composé, Sauf lorsque m = 1. En résumé, sur toute l'étendue des nombres de n! – n à n! + n la seule possibilité de trouver des nombres premiers est pour n! – 1 ou n! + 1 Illustration (voir plages qui montre que cela est vrai pour n > 3) Pour la même raison, les primorielles jouissent de la même propriété

Anglais	Factorial prime Prime of the form n! ± 1
Voir	Primorielles Place de ces nombres parmi les autres premiers Factorielles Problème de Brocard

Plages factorielles

Plages des nombres de n! – n à n! + n pour n de 2 à 6. En rouge les nombres premiers On note les exceptions pour n = 2 (2! = 2 est premier) et pour 3 (3! – 3 = 3 est premier). Plage de nombres composés derrière une factorielle Ce tableau donne la quantité d de nombres composés qui suivent le nombre n! + 1. Il est toujours égal ou plus grand que n – 1. L'excédent d – n tend à croître avec n, mais souffre d'exceptions, comme avec 20!

Voir Primorielles

LISTES

Nombres premiers factoriels

avec leur valeur pour n jusqu'à 500

3! – 1 = 5 4! – 1 = 23 6! – 1 = 719 7! – 1 = 5 039 12! – 1 = 479 001 599 14! – 1 = 87 178 291 199 30! – 1 = 0, 2653 10 ^33 32! – 1 = 0, 2631 10 ^36 33! – 1 = 0, 8683 10 ^37 38! – 1 = 0, 5230 10 ^45 94! – 1 = 0, 1087 10 ^147 166! – 1 = 0, 9004 10 ^298 324! – 1 = 0, 2289 10 ^675 379! – 1 = 0, 2484 10 ^815 469! – 1 = 0, 6772 10 ^1051	1 ! + 1 = 2 2 ! + 1 = 3 3 ! + 1 = 7 11 ! + 1 = 39 916 801 27 ! + 1 = 0, 1088 10 ^29 37 ! + 1 = 0, 1376 10 ^44 41 ! + 1 = 0, 3345 10 ^50 73 ! + 1 = 0, 4470 10 ^106 77 ! + 1 = 0, 1451 10 ^114 116 ! + 1 = 0, 3393 10 ^191 154 ! + 1 = 0, 3089 10 ^272 320 ! + 1 = 0, 2116 10 ^665 340 ! + 1 = 0, 5100 10 ^715 399 ! + 1 = 0, 1600 10 ^867 427 ! + 1 = 0, 2906 10 ^940
Suivants 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790 (dernier connu)	Suivants 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209 (dernier connu)

Nombres premiers factorielles

et généralisation aux PUISSANCES des factorielles

pour n jusqu'à 100 

n! – 1	n! + 1	n!² - 1	n!² + 1	n!^3 - 1	n!^3 + 1	n!^4 - 1	n!^4 + 1
3 4 6 7 12 14 30 32 33 38 94	1 2 3 11 27 37 41 73 77	2	1 2 3 4 5 9 10 11 13 24 65 76	2	1	néant	1 2 3 4 13

Factorielles combinées

N = n! + n + 1 est premier pour n = {2, 4, 6, 10, 52} n jusqu'à 1000.

N = n! + 1 est premier pour n = { 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427} n jusqu'à 500.

Programmation – Formation des listes de premiers factoriels
	Commentaire Boucle de formation des factorielles avec n égal le précédent multiplié par les nombres successifs. Formation de deux listes si n! + 1 est premier et si n! – 1 est premier. Impression des deux listes en fin de traitement.

Voir Programmation – Index

Suite	Factorielles – Index Premiers – Index
Voir	Presque-premier Nombres de Cunningham
Sites	OEIS A002981 – Numbers k such that k! + 1 is prime OEIS A002982 – Numbers n such that n! - 1 is prime OEIS A055490 – Factorial primes: primes of the form n! – 1.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremFact.htm