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Édition du: 13/12/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Nombres (Classification) Types de nombres	Types de Nombres – Motifs
	Ulam	Chanceux d'Ulam	Mian-Chowla	Sylvester
		Hofstadter–Conway	Suites équilibrées	Dedekind

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Suites équilibrées Triangulaires carrés Égalité entre deux sommes de nombres consécutifs. Recherche des nombres triangulaires carrés.
	Sommaire de cette page >>> Nombres de suites équilibrées >>> Nombres médians de suites équilibrées >>> Propriétés et historique >>> Programme Maple >>> Cas où n fait partie de la première suite	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Nombres de suites équilibrées		haut
Définition Un tel nombre n est au milieu de deux sommes identiques de nombres consécutifs. À gauche, la somme des nombres de 1 à n – 1, À droite, la somme des nombres de n + 1 à r,	1 + 2 + … + (n – 1) = (n + 1) + (n + 2) + … r
Nombre triangulaire La somme des nombres de 1 à n – 1 est le nombre triangulaire d'ordre n – 1. La somme des nombres de n + 1 à r est le nombre triangulaire d'ordre r diminué de n et encore du nombre triangulaire d'ordre n – 1.
Formulation La somme des nombres de 1 à k s'écrit: k (k + 1) / 2. Conclusion: le nombre n au carré est égal au nombre triangulaire d'ordre r.

Illustration avec n = 6

Nombres médians de suites équilibrées		haut
Calcul On cherche les nombres triangulaires carrés. On vérifie que, par exemple pour n = 35: la somme des nombres jusqu'à 34 vaut 595, celle jusqu'à 49 vaut 1225 = 35², et 1225 – 595 – 35 = 595.
Liste Ces nombres au carré sont triangulaires. Ils sont situés au centre de deux suites de nombres consécutifs de même somme.	0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790, 62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559, …

Propriétés et historique		haut
Propriétés	Le nombre n est un "médian" de la suite 1 + 2 + … + r Ces nombres au carré sont des nombres triangulaires. Les nombres 8n² + 1 sont des carrés. Ex: 8 × 35² + 1 = 9801 = 99². Ces nombres sont solutions de l'équation diophantienne x² – 8y² = 1. Valeur du produit xy où (x, y) satisfait x² – 2y² = +1 ou -1. Formule de récurrence: Un = 6Un-1 – Un-2 avec U0 = 0 et U1 = 1. ex: 6 × 35 – 6 = 204
Historique	L'encyclopédie des nombres répertorie ces nombres comme racine carrée entière de nombres triangulaires. Behera et Panda (1999) appellent ces nombres des balancing numbers et le nombre n lui-même un balancer. Sujet abordé par Ramanujan sous la forme d'une énigme à propos de la somme des numéros des maisons avant et après une certaine maison médiane. Voir aussi, l'énigme de la maison du maire.

Programme Maple		haut
	But Éditer le tableau vu ci-dessus. avec Maple. Commentaires Exploration des nombres triangulaires T de rang r. Test si ce nombre est carré avec issqr (is square). Impression de n, la racine carrée du nombre triangulaire, de r, de t = Tn-1 et de T = Tr

Voir Programmation – Index

Cas où n fait partie de la première suite		haut
Définition à gauche, la somme des nombre de 1 à n, et à droite, celle des nombres de n+1 à r.	1 + 2 + … + (n) = (n + 1) + (n + 2) + … r ex: 1 + 2 + … + 14 = 15 + 16 + … + 20 = 105 ex: 1 + 2 + … + 84 = 85 + 86 + … + 119 = 3570 ex: 1 + 2 + … + 492 = 493 + … + 696 = 121 278 ex: 1 + 2 + … + 2870 = 2871 + … + 4059 = 4 119 885
Propriété	Nombre tel que son double est également triangulaire Ex: T14 = 105 et T20 = 210
Liste Indice des nombre triangulaires qui sont la moitié d'un autre triangulaire.	0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424, 756872327472, 4411375203410, 25711378892990, 149856898154532, 873430010034204, …

Voir Énigme des numéros des maisons

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Retour	Somme des numéros des maisons Maison du maire.
Suite	Sommes égales de nombres triangulaires Nombre équilibrés Nombres balancés
Voir	Nombres chanceux d'Ulam Nombre chanceux d'Euler
Sites	Some fascinating properties of balancing numbers – G. K. Panda OEIS A001109 – a(n)^2 is a triangular number: a(n) = 6*a(n-1) - a(n-2) with a(0)=0, a(1)=1 OEIS A053141 – a(0)=0, a(1)=2 then a(n) = a(n-2) + 2*sqrt(8*a(n-1)^2 + 8*a(n-1) + 1)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPSEQUE/SuitBal.htm