Lentilles convergentes

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Les lentilles convergentes

Élèves

Le prof n'a pas expliqué ce qu'est un foyer. Je ne vois toujours pas ce que c'est pour une lentille.

La distance focale c'est quoi et la dioptrie affublée d'un signe cabalistique, je n'y comprends rien.

Le prof utilise deux formules et trouvent des résultats en pratiquant des tours de passe-passe. J'essaie de l'imiter et ne trouve jamais les mêmes résultats.

Il nous parle de grossissement. Je ne comprends pas du tout d'où cela vient.

Auteur du site

Un flot d'incompréhensions que j'ai pu constatées auprès d'élèves pourtant assez doués. Voici quelques explications pour palier les manques sans doute dus à l'insuffisance de temps passé en classe.

Approche

Tintin, dans le Temple du Soleil, utilise une loupe pour allumer la pipe du capitaine Haddock, métaphore pour signifier que les Incas allument leur feu de cette façon, notamment celui de leurs bûchers.

Dans Tintin au Congo, le petit reporter perché sur une branche fait fuir l'éléphant en lui grillant la couenne à l'aide d'une loupe. La loupe apparaît également dans le secret de la Licorne. L'un des Dupont s'y grille le derrière par inadvertance.

Zoom sur l'image où Tintin présente la loupe aux rayons du soleil, les concentrant sur le tabac au fond du foyer de la pipe.

L'intérieur de la pipe, là où est déposé le tabac, s'appelle le foyer ou le fourneau. Définition du foyer, là où on fait du feu; de l’adjectif latin focarius signifiant: de feu.

Les rayons du soleil lointain sont parallèles. La lentille de la loupe concentre le faisceau en un point précis.

La pipe plus loin ou moins loin, les rayons ne seraient pas focalisés, l'énergie ne serait pas assez concentrée et le tabac ne s'embraserait pas.

Représentation schématique

La loupe est un cas particulier de lentilles convergentes.

Son centre est le centre optique O.

Le point de convergence des rayons est appelé le foyer F et la longueur OF est la distance focale.

Le grossissement de la lentille (de la loupe) est une fonction de la distance focale.

C'est quoi le FOYER? Là où ça converge?

Oui, il est possible d'expliquer le phénomène de convergence. Il faudrait tracer le trajet des rayons soumis à la diffraction en entrant et en sortant de la lentille. Au lycée, on se contente de savoir que, comme on le constate avec la loupe, il existe un point spécifique de convergence des rayons.

Pour obtenir une image nette, vous avez déjà constaté qu'il faut tenir la loupe à une distance précise, sinon l'image est floue. Prenez une loupe à fort grossissement et observez une image en couleur dans un magazine. L'image est faite de petits points de couleur. Vous expliquerez cette technique plus tard dans le cours en étudiant la trichromie.

Pour en connaître un rayon; en fait, trois rayons!
Nous ne nous intéressons pour le moment qu'aux lentilles minces convergentes et symétriques. Elles ont le même bombage convexe de chaque côté. Le centre de convergence est le foyer ou point focal La distance focale est notée f. Le cristallin de l'œil humain est une lentille pour laquelle f = 17 mm (environ).
Règle 1 Un rayon incident parallèle à l'axe optique traverse la lentille et se dirige vers son foyer. C'est exactement ce que nous avons vu plus haut avec la loupe.
Règle 2 Un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié. Qu'il soit perpendiculaire à l'axe optique ou incliné comme sur le dessin. Le centre optique est neutre pour les rayons.
Règle 3 Un rayon qui ressort parallèle à l'axe optique provient d'un point symétrique du foyer. Ce nouveau foyer, dit "objet" est nommé F et le foyer initial, dit "image" est nommé F'. La lentille étant symétrique, il n'y a pas de raison que les situations, en haut et bas, ne soient pas symétriques.	Baptême des deux points focaux: F est le point focal objet et F' (F prime) est le point focal image. Tout ce qui aura trait à l'image sera nommé avec le "prime".

Construction des images – cas classique

Prenons un objet matérialisé par une flèche AB. Quelle est son image à travers la lentille?

Le point A est sur l'axe optique; son image A' sera sur l'axe optique.

À partir de B, je trace le rayon marron BM, parallèle à l'axe optique et sa suite qui passe par le foyer, soit MF'.

Puis le rayon bleu qui passe par le centre optique sans être dévié. Il coupe le rayon marron en B'

Le point B', point de rencontre de deux rayons lumineux issus de B, est l'image du point B à travers la lentille.

Je trace A' tels que A'B' soit perpendiculaire à l'axe optique comme l'est AB.

Notez qu'en effectuant le tracé géométrique nous avons formé deux triangles rectangles: ABO et A'B'O qui sont semblables. Un petit coup de Thalès et nous obtenons la relation:

Le rapport de taille entre l'image et l'objet est dans la même proportion que les distances de l'image et de l'objet au centre optique.

Note: la barre sur les noms des segments signifie simplement que l'on s'intéresse à l'orientation, au signe. Une longueur sera positive vers la droite ou vers le haut; négative vers la gauche ou vers le bas. Comme sur un repère classique en maths.

Le tracé du rayon vert n'est pas indispensable, mais il permet une vérification. De l'image B', on trace la parallèle B'M' à l'axe optique. Ce rayon parallèle en sortie de lentille, provient du foyer objet F; d'où le tracé du rayon M'F qui provient effectivement de l'objet B.

Notez bien que, malgré la symétrie des foyers, la figure n'est pas symétrique et BMB'M' est un quadrilatère presque quelconque (pas un parallélogramme!): c'est un trapèze. BM et M'B' sont parallèles; mais pas BM' et MB'. Normal, les longueurs de AB et A'B' ne sont pas égales. Elles sont liées par un rapport de grossissement spécifié par la formule indiquée.

Grandissement

La formule que nous venons de trouver le plus simplement du monde est l'une des deux formules à connaître. Elle témoigne du grossissement ou rapetissement de l'image par rapport à l'objet. C'est le grandissement parfois baptisé par la lettre grecque gamma.

Construction des images – cas virtuel

Cette fois l'objet est placé entre le foyer objet et la lentille. Où se trouve l'image?

En respectant les trois règles de construction, voici le résultat.

Le rayon bleu est le plus facile à construire.

Le rayon marron partant parallèle à l'axe, se focalise en F'

Le rayon vert sortant parallèle est issu du foyer objet.

Oui, mais les trois rayons ne se coupent pas du côté du foyer image!

Certes! Mais, en les prolongeant à gauche, du côté du foyer objet, ils se coupent en B'.

On a l'impression que l'image vient de par l'autre côté. Elle est virtuelle.

Écran total

Si l'objet est placé en arrière du foyer objet, alors l'image se forme de l'autre côté de la lentille. Elle est réelle au sens où vous pouvez l'observez en plaçant un écran au foyer image. En rapprochant l'objet du foyer, il faut placer l'écran de plus en plus loin de la lentille; l'image s'enfuit au loin.

En arrivant au foyer objet, l'image est à l'infini (rayons marron et bleu parallèles).

En dépassant ce point, l'image revient par derrière (à gauche) sous forme virtuelle, impossible à matérialiser sur un écran.

Où se trouve l'image exactement?
Il est temps de voir comment calculer la position de l'image. Connaissant la distance OA, en déduire la distance OA'.
Prenons les triangles rectangles, ayant leurs angles égaux.	A'B'F' & OMF' semblables
Proportionnalité selon Thales.
Par construction de la parallèle.
Remplacement.
Rapprochement avec notre première formel de grandissement.
Nouvelle identité
Évaluation de A'F' avec la relation de Chasles (simple, ici)
Remplacement.
Produit en croix.
Division par OA.OA'.OF'
Mise en forme sympathique.

Association ou conjugaison des foyers

Cette identité est connue sous le nom de relation de conjugaison de Descartes. Conjugaison parce qu'elle associe de façon symétrique, les positions de A et A'. En maths un conjugué et une sorte de frère jumeau. Et cette conjugaison est fonction de l'inverse de la distance focale. Pour des raisons purement pratique, les physiciens, ont donné une nouvelle unité: la dioptrie.

Pas de panique! La dioptrie est un autre nom de l'inverse des mètres, symbolisé par la lettre grecque delta. Cette grandeur est aussi nommée la vergence (V) de la lentille.

Calcul de position
Ce que l'on connaît.	Lentille de 20 dioptries. Objet de 2 cm à 10 cm du centre optique.
Ce qu'il faut chercher	Distance au centre optique de l'image: a'. Taille de l'image: b'.
Nos formules: relation de conjugaison et grandissement.
Application numérique. Attention OA est négatif!
Calculs
Position du point A', image de A
Taille de l'image