NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Polygones
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INDEX Polygones Géométrie	Propriétés		Régions internes	Régions externes
		Sommaire de cette page Régions du plan avec: >>> Le carré et le triangle >>> Le pentagone et l'hexagone >>> L'heptagone et l'octogone >>> Le dodécagone >>> Tout polygone >>> Polyèdre

RÉGIONS externes des POLYGONES

Régions créées par les droites

portant les côtés des polygones

Maillage du plan par les droites prolongeant les côtés des polygones.

Quantité de régions créées.

Régions du plan avec le carré et le triangle
Cas du carré Quelles sont les régions créées par le dessin d'un carré (ou d'un rectangle) sur le plan lorsqu'on prolonge les côtés ? Dénombrement Intérieur du carré: 1 Régions connexes aux côtés: 4 Régions issues des sommets: 4 Bilan: 9 régions dont 1 fermée.
Cas du triangle Même type de dénombrement Intérieur du triangle: 1 Régions connexes aux côtés: 3 Régions issues des sommets: 3 Bilan: 7 régions dont 1 fermée.

Régions du plan avec le pentagone et l'hexagone
Avec le pentagone de nouvelles régions font leur apparition. Celles avec le croisement des droites portant les côtés. Après cette première intersection, les droites se prolongent sans se croiser à nouveau. Dénombrement Intérieur du pentagone: 1 Régions connexes aux côtés: 5 + 5 Régions issues des sommets: 5 Bilan: 16 régions dont 6 fermées ou bornées.
Même type de configuration avec l'hexagone Intérieur de l'hexagone: 1 Régions connexes aux côtés: 6 + 6 Régions issues des sommets: 6 Bilan: 19 régions dont 7 fermées ou bornées.

Régions du plan avec l'heptagone et l'octogone
Avec l'heptagone encore de nouvelles régions font leur apparition. C'est en face des sommets que se révèle un nouveau croisement. Dénombrement Intérieur du pentagone: 1 Régions connexes aux côtés: 7 + 7 Régions issues des sommets: 7 + 7 Bilan: 29 régions dont 15 fermées ou bornées.
Dénombrement pour l'octogone Intérieur de l'octogone: 1 Régions connexes aux côtés: 8 + 8 Régions issues des sommets: 8 + 8 Bilan: 33 régions dont 17 fermées ou bornées.

Régions du plan avec le dodécagone
Dénombrement Intérieur du dodécagone : 1 Régions connexes aux côtés: 12 + 12 + 12 Régions issues des sommets: 12 + 12 + 12 Bilan: 73 régions dont 49 fermées ou bornées. Figure d'aide au décompte

Voir Brève 545

Régions du plan avec tout polygone
Quantité de régions
Quantité de régions bornées
Tableau pour n de 3 à 12
Suite donnant la quantité de RÉGIONS pour n croissant	7, 9, 16, 19, 29, 33, 46, 51, 67, 73, 92, 99, 121, 129, 154, 163, 191, 201, 232, 243, 277, 289, 326, 339, 379, 393, 436, 451, 497, 513, 562, 579, 631, 649, 704, 723, 781, 801, 862, 883, 947, 969, 1036, 1059, 1129, 1153, 1226, 1251, 1327, 1353, 1432, 1459, 1541, 1569, 1654, 1683, 1771, 1801, …

Polyèdres
Prolonger les faces des polyèdres forme de nouveaux objets: les polyèdres étoilés ou solide de Kepler-Poinsot. En anglais, ce procédé d'extension des faces se nomme: stellation (mot qui rappelle stellaire, qui se rapporte aux étoiles)		Quantité de polygones étoilés
Comme avec les polygones, en prolongeant les faces des polyèdres, on peut chercher à savoir: combien de domaines polygonaux sont créés combien de domaines polyédraux sont créés.	Cas de l'octaèdre régulier et intersection des plans des faces 14 points, 84 segments, et 128 domaines polygonaux. Octaèdre et régions 1 octaèdre, 8 tétraèdres sur les faces, 6 régions tétraèdrales illimitée sur les sommets, 24 sortes de coins illimités sur les bords des tétraèdres, 8 régions trièdrales illimitées sur les arêtes externes des tétraèdres, et 12 régions illimitées avec deux faces partagées avec les tétraèdres. Bilan: 59 régions dont 9 fermées. Dodécaèdre et régions Bilan: 122 régions illimitées pour le dodécaèdre, et ? régions fermées (les polyèdres à douze faces sont nombreux).

Suite	Régions internes
Voir	Construction du pentagone Polygone – Index Polygones concaves Hexagone Calcul de Pi
Aussi	Constructibilité Géométrie – Index Partage du cercle Rosaces
Sites	OEIS A24933 – Number of regions formed by extending the sides of a regular n-gon Combinatorics, group theory and geometric models – Jean Pederson – Page 421 – Figure et décompte des régions de l'octaèdre
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PolyRegi.htm