constructions géométriques

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À voir aussi …

DESSINS GÉOMÉTRIQUES – Guillaume Villemin

Alliance de la géométrie et de l'art.

Un travail d'imagination et de patience !

Sur les pages de ce site

Constructions – INDEX

Général

Bases

Centre de gravité

Constructibilité

Constructions impossibles

Défis géométriques

Polygones - Index

Géométrie – Index

Pavage

Pliages

Relation d'Euler

Construction par neusis (règle marquée)

Les constructions élémentaires – Index

Longueurs a, 1/a et racine(ab)

Tangentes avec ou sans le centre du cercle

Trisectrice

Construction des polygones

Nombres

3	Triangles en général
	Triangles quelconque
	Triangle – Point de Torricelli
	Triangle équilatéral
	Triangle équilatéral circonscrit
	Triangle quadruple
	Triangle quelconque
	Triangle rectangle
	Triangle rectangle – Jardinier
	Triangle et son orthocentre
	Triangle équilatéral sur 3 parallèles
4	Carré avec points milieux
	Carrés et couronnes (même aire)
	Carré dans le cube
	Carré dans le triangle
	Carré dans rectangle
	Carré doublé
	Carré rigide
	Carré par quatre points
	Losange dans rectangle
	Losange à 45°
	Quadrilatères
5	Pentagone – Diverses méthodes
6	Hexagone
7	Heptagone Neusis
8	Octogone
	Octogone – Arabesques
9	Ennéagone (Neusis et approximations)
10	Décagone
12	Dodécagone
15	Pentadécagone
17	Heptadécagone
/	Cercle et trois entités (P, D, C) Les dix problèmes d'Apollonius
/	Cercle – Centre (construction)
/	Cercle – Sans centre (construction)
/	Cercle – Partage
/	Cercle – Partage Bion
/	Cercle – Quadrature
/	Cercles – Cordes égales
/	Cercles et triangles équilatéraux
/	Sangakus
/	Ellipse – Centre, axes et foyers
3 à 10	Polygones gigognes

Angle 10° (en fait: 9,59°)

Angle 20° par neusis

Angle 20° (en fait: 20,01°)

Angle de 22,5°

Angle de 30° et de 60°

Angle de 45°

Angle 70° par neusis

Angle triple

Carré d'une longueur donnée

Fractions: 1/2, 1/3, 1/4 …

Fractions quelconques

Fractions par division d'un segment

Construction de 1/3 avec Descartes

Inverse d'une longueur donnée

Nombre d'or - Phi

Nombre d'or au compas

Nombre d'or – Construction remarquable (Euclide)

Nombres polygonaux

Nombres: 1/2, 1/3, racines, Pi, Phi…

Pi approché (Hobbes, Kochanski, Dickson ..) – Quadrature approchée du cercle

Racine carrée

Racine carrée d'une longueur donnée

Racine de 2

Racine de 3

Racine de 5

Racine de 2, de 3, de 5 et de Phi

Racine de 8

Racine de n – Méthode générale et autres

Divers

Allumettes – Constructions

Angles 30°, 60° et autres

Angle dupliqué

Billard d'Alhazen

Bissection du segment

Bissection du triangle

Bissectrice d'un angle droit

Carré et triangles dans une feuille A4

Cercle inscrit dans le losange

Cercle inscrit dans le quart d'ellipse

Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

Constructions dans le cercle

Constructions – Forces

Duplication du cube

Édifices

Ellipse - Jardinier

Fractales – Images

Fractions

Image – Optique

Inversion – Constructions avec -

Labyrinthe

Partage du cercle en k parts égales

Partage du rectangle en deux parts égales

Partage du triangle en k parts égales

Perpendiculaire sans compas

Pi approché

Sangakus (règle graduée)

Sangakus (règle non graduée)

Shri Yantra

Spirale logarithmique

Symétrie des frises et tapisseries

Tangente à deux cercles

Tangram

Trisection dans un triangle quelconque

Trisection de l'angle

Trisection de l'angle de 90°

Trisection du segment

Trisection du rectangle

Yin Yang

Volumes

Cône

Cube – Emballage

Cube – Patrons

Tétraèdre

Quadratures

Cercle en carré

Parabole en carré

Polygone en carré

Rectangle en carré

Triangle en carré

Triangle en rectangle

CONSTRUCTIONS

& CONSTRUCTIBILITÉ

Peut-on construire rigoureusement une figure géométrique

en utilisant des outils précis:

règle, compas, marques sur la règle … allumettes.

Division de la circonférence pas possible pour

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 …

Possible pour

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, 2056, 2176, 2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840, 3855, 4080, 4096, 4112, 4352, 4369, 5120, 5140, 5440, 6144, 6168, 6528, 7680, 7710, 8160, 8192, 8224, 8704, 8738, 10240, …

CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss

Historique

Les Grecs connaissaient de nombreuses possibilités de construction.

Au Xe siècle, un astronome persan, Abul Wefa, publie un recueil de constructions à la règle et au compas à ouverture fixe.

Il a fallu 2000 ans pour que Gauss (1796) démontre le théorème suivant.

Nombre de Fermat (Rappel)

Les nombres premiers de Fermat sont de la forme: 2^p + 1 avec p puissance de 2.

On ne connaît que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour
p = 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴

Théorème de Gauss (1777-1855) - formulation n°1

Il est possible de diviser la circonférence

en un nombre impair de parties égales

si, et seulement si,

le nombre est un

nombre premier de Fermat

comme 3, 5, 17, 257, 65 537.

Théorème de Gauss - formulation n°2

Le polygone régulier n'est constructible

avec une règle et un compas que si

m étant entier et n premier.

si n est formé exclusivement de combinaisons d'un nombre premier de Fermat (comme 3, 5, 17, 257, 65 537) et de puissances de deux.

Théorème de Gauss - formulation n°3 finale

Un polygone régulier à n côtés

est constructible à la règle et au compas

si n est de la forme 2^rp₁p₂...p_k

où les p_i sont des nombres premier de Fermat distincts

Contient les cas r = 0 et k= 0

Voir Brève 54-1069

COMPLÉMENT de Wantzel

Wantzel démontre que seuls les polygones de Gauss sont constructibles.

Conséquences

n'étant pas algébrique (il est transcendant), la quadrature du cercle est impossible

de même que la duplication du cube

et, en général, la trisection de l'angle.

Bilan

Soit les seules possibilités de diviser la circonférence jusqu'à 51 =>

Théorème de Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848)

Tout nombre constructible est algébrique

et son degré est une puissance de 2.

Les nombres constructibles (en jaune)

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
32	33	34	35	36	37	38	39	40	41
42	43	44	45	46	47	48	49	50	51

On ne peut donc pas diviser le cercle par 7, 9, 11, 13...Ni P7 (heptagone), ni P9 (ennéagone) ne sont pas constructibles par règle et compas.

SUITE: Théorème de Mohr-Mascheroni

Le livre de Mohr, pourtant antérieur à Mascheroni n'a été retrouvé et connu qu'en 1928, d'où le nom de Mascheroni.

L'abbé italien Mascheroni (1750 -1800), écrit: Géométrie du compas (Geometria del compasso) en 1797.

Il établit que toutes les constructions géométriques réalisables avec règle et compas peuvent être effectuées avec le compas seul. Convention: une droite est déterminée si deux de ses points sont construits.

Théorème de Mohr (1672) ou de Mascheroni (1797):

Toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul

En latin, compar veut dire égal. Le verbe compassare signifiait: mesurer avec ses pas.

Théorème de la construction à la règle seule

Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).

Toute construction à la règle et au compas peut être réalisée avec la règle seulement, à condition de diposer d'un cercle.

Voir Bissection au compas / Milieu du segment / Perpendiculaire avec règle et sans compas

Coin matheux

Théorème de Wantzel (1832)

L'ensemble des nombres constructibles au compas est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.

Théorème de Videla (1997)

L'ensemble des nombres constructibles au compas avec la méthode conique est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique

Voir Quadrature du cercle

CONSTRUCTION DES POLYGONES
*Peut-on* diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas? Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle. *Par deux* et ses multiples, il suffit de prendre un diamètre et, prendre le compas à partir des deux points obtenus pour diviser par 2. *Par six,* on porte le rayon sur la circonférence.
*Par trois,* on divise par 6 et on prend un point sur deux. *Par 12,* on trace les bissectrices au compas; Même chose pour passer à 24 en doublant. *Par cinq,* la construction est un peu plus compliquée, mais c'est faisable. Voir construction de l'étoile à 5 branches. On peut doubler pour *dix*. On peut combiner 6 et 10 et obtenir 15 parts. Etc.	Bilan On peut diviser en: 3 x 5 3 x 2ⁿ 3 x 5 x 2ⁿ
Plus grand n-gone régulier constructible à la règle et au compas pour n = 4 294 967 295. Le suivant pour n = 1 431 655 765. Au total, seuls 31 polygones réguliers sont connus pour être constructibles.

Voir constante Pi

TYPES DE CONSTRUCTIONS

Définition

	*Compas*	*Règle* *non graduée*	*Marque* *sur règle*	*Tiges de* *longueur fixe*
Grecque classique
Mascheroni
Steiner
Neusis
Dawson

Comparaisons entre les méthodes de construction

Grecque classique	Certaines constructions sont impossibles. Théorème de Gauss (1796)
Mascheroni	Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec le compas seul. Théorème de Mascheroni (1797), énoncé avant lui (1672) par George Mohr.
Poncelet Steiner	Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec la règle seule à condition de disposer d'un cercle et son centre ou deux cercles qui se coupent sans leur centre ou trois cercles sans intersection. Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).
Neusis	Les constructions classiques impossibles le sont en ajoutant une marque sur la règle et en procédant par ajustements. Voir trisection de l'angle et construction de l'heptagone .
Dawson	Une figure est constructible si et seulement si elle l'est avec des allumettes identiques mobiles sur une feuille de papier. Théorème de Dawson
Théorie de Galois	Théorie de l'extension des *corps* qui permet de donner une traduction mathématique à "construire à la règle et au compas".

Recensement des constructions géométriques

Nicolas Bion (1652-1733) est un ingénieur et cosmographe français, constructeur d'instruments de mathématiques pour Louis XIV.

Il est l'auteur de: Traité de la construction et des principaux usages des instrumens (sans t) de mathématiques (1709).

Il y décrit notamment une méthode générale des polygones: la méthode Bion.

Suite	Bissection
Voir	Allumettes Construction de racine de 2 Centre du cercle Pentagone ou étoile à cinq branches
Autres	Cycloïde Géométrie – Index Heptagone Illusions d'optique Médiatrice Neusis (construction-)	Pliages et découpages Polyèdres Polygones Quadrature du cercle Triangles
Document	Construction approchée de polygones réguliers – Jean-Louis Breuil
Sites	Constructions décoratives Geogebra est un logiciel mathématique gratuit réalisant toutes ces constructions et bien plus … Euclidea – The Largest Collection of Interactive Geometric Puzzles – Jeux avec énigmes consistant à trouver la construction géométrique d'une figure.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Construc.htm