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SPHÈRE – AIRE et VOLUME

Calcul par intégrales

Calotte de hauteur h
Aire
Volume

Pour le calcul du volume de la sphère, les mathématiciens de l'Antiquité procédaient par approximations. Les modernes ont inventé un outil puissant et rigoureux: le calcul intégral.

Calcul par tranches
Principe Calculer le volume de la sphère en faisant la somme des volumes des disques jaunes, considérés comme aussi fins que possible. Calculs
Volume du disque jaune (cylindre):
Volume de la sphère: passage d'une somme discrète (sigma) à une somme continue (intégrale):
Pythagore:
Retour au volume avec quelques aménagements:
Primitive de y = x² + c => x^3/3 + cx + cste
Intégration par parties (différence des primitives entre les deux bornes):
Finalement:

Voir Calcul géométrique

Calcul par élément de surface
Principe Calculer l'aire de la sphère en faisant la somme des surfaces élémentaires, considérées comme aussi petites que l'on veut. La surface élémentaire dA est limitée par un angle infinitésimal () en horizontal et un angle infinitésimal () en vertical (angle d'élévation). L'aire de la sphère est la somme de toutes ces surfaces infinitésimales.
Coordonnées polaires Un point M sur la sphère est repéré par trois paramètres: r, la distance à l'origine; thêta, l'angle horizontal ou azimut ; et phi, l'angle vertical ou élévation. Coordonnées cartésiennes (pour info) Dimension de la surface élémentaire La longueur d'un arc est égale au rayon multiplié par l'angle exprimé en radians. Pour db, sur le grand cercle en Phi: Pour da, sur le petit cercle de rayon r cos(phi), cercle de latitude: Surface élémentaire Surface complète de la sphère Faire pivoter la surface élémentaire en: faisant un tour complet sur thêta (de 0° à 360°). On a ainsi décrit un cercle complet horizontal; et en faisant un demi-tour à ce cercle qui décrit alors la sphère complète (phi de -90° = 90°).
Calcul de la surface par intégration Somme des dA sur toute la sphère: Et, avec séparation des éléments indépendants:
Primitive Primitive du cosinus: le sinus. Pour thêta, la primitive d'un élément d'angle, c'est l'angle lui-même.
Intégration par parties (différence des valeurs entre les deux bornes):
Soit finalement, l'aire de la sphère:

Volume On intègre l'aire selon le rayon de 0 à r:
Calcul avec primitive de x^2 = x^3 / 3:

Calcul de l'aire avec longueur de la courbe
Pour une courbe paramétrée avec x() et y(t), la longueur d'un arc est:
Par une rotation autour de x, aire de la surface obtenue:
Si la courbe est un cercle:		x(t) = r cos(t) et y = r sin(t) pour t de 0 à Pi
En remplaçant:
Intégration

Merci à JMJ pour sa relecture attentive et ses conseils

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