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PAVAGE – Une Approche via les transformations Découverte du pavage du plan en
découvrant progressivement les effets de la translation puis de la rotation. Approche présentée sous la forme
d'un exercice. |
Voir Pavage –
Débutants
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Problème On se
propose d'étudier la forme indiquée. plus précisément, la capacité de cette
forme à paver le plan. Pavage, c'est quoi? Mot
emprunté aux carreleurs qui signifie qu'il est possible de recouvrir le sol
d'un carrelage fait avec des carreaux de cette forme. Autrement-dit: cette
forme peut être reproduite et les copies assemblées jointivement pour
recouvrir la surface (en maths, on dit le plan;
pensez au plan de travail). Encore une image: avec cette forme on peut réaliser les pièces d'un puzzle. Oui, mais
il faudrait faire quelque chose pour
s'arrêter aux bords. En fait, sans cela, on parle d'un pavage infini. |
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Mes premières observations Cette
forme est constituée d'une ligne brisée fermée, un polygone
à dix côtés avec des parties saillantes (convexes) et des parties en creux
(concaves). Elle est symétrique:
en la coupant en deux par une ligne verticale, je peux disposer de deux
morceaux identiques par retournement (ou, image l'un de l'autre dans un
miroir). Je note
également que le haut est concave et le bas convexe, et l'un peut s'emboiter
dans l'autre. Pour effectuer un pavage cela peut être utile. |
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Construire
l'image de ce polygone par translation qui
transforme B en C. Interprétation Translation
est un mot de maths qui signifie, en gros, glissement. Effectuer
une translation, c'est tout simplement faire glisser la figure telle quelle,
sans la déformer, ni surtout la faire tourner. Bon!
Maintenant, il faut savoir de combien la faire glisser. En général, on donne
un segment avec une flèche qui indique la
direction, le sens et la distance de glissement. Note: comme toujours en maths, il faut des noms! Cette flèche s'appelle un
vecteur. Un objet d'études pour le lycée et d'une très grande importance en
physique (pour représenter une force). |
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Dans
notre cas, que devient le polygone en le faisant glisser de façon que le
point B passe en C On
dessine la flèche de translation qui part de B et qui s'arrête en C. On fait glisser
toute la figure de cette quantité. On note tous les points images en mettant
une apostrophe: A', B', C' et D'. On lit: A prime, B prime, etc. Le point
B', image de B par la translation, est bien passé en position C. Notez que
la flèche de translation s'applique à tous les points de la figure
(évidemment!). |
Je note bien que les deux figures s'emboitent. Bon gage pour effectuer un pavage. |
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Question n°2 Construire
l'image du polygone initial par la rotation de centra A et d'angle 90° dans
le sens des aiguilles d'une montre. Rotation Pour une
fois, ce mot se comprend facilement. Pour
effectuer la rotation on dessine un trait partant du centre de rotation A (le
pivot; là où je placerais la pointe du compas). Je choisis un point
quelconque de la figure comme extrémité. Disons B. Je trace
un cercle et m'arrête à 90° dans le sens des aiguilles de la montre. L'image
B' de B est là. Je peux
faire la même chose avec C pour me rassurer. Je fais
pivoter toute la figure de sorte que A reste en A et B prend la place B'. |
En faisant pivoter la figure d'un quart de tour autour de
A, je trouve une figure qui s'emboite dans la figure originelle. Deuxième bon
gage pour effectuer un pavage. |
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Poursuivre
la construction pour obtenir le pavage du plan représenté par cette feuille à
carreaux. Pavage Nous avons
observé une possibilité de pavage avec chacune des transformations
étudiées (la translation et la rotation) Combinons
les deux et nous avons ce magnifique pavage
(ou carrelage ou puzzle, comme vous voudrez). |
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Une autre
idée de pavage simple avec cette forme
Jouez avec
ces pavages
Voir Pavages
d'Escher, le maitre!
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Nous avons appris ce
qu'est le pavage du plan. Nous savons également
construire deux transformations
importantes dans le plan: la translation
et la rotation. La translation est
définie par une flèche qui est appelée vecteur.
La copie d'un objet
après transformation est appelée son image. |
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Pavage –
Débutants (cas des triangles) |
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Suite |
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Voir |
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Construction géométrique des nombres ·
Géométrie
– Index ·
Méandres ·
Pavage
mystérieux du triangle ·
Poincaré ·
Carré ·
Dominos ·
Polygone ·
Théorème de la carpette (ou du
tapis) |
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