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INDEX POLYGONES CARRÉS		Sommaire de cette page >>> Énigme du tapissier – Carré 10 x 10 >>> Indice >>> Carré 4 x 4 >>> Carré 6 x 6 >>> Carré 8 x 8 >>> Principe de la construction du 10 x 10 >>> Solution du 10 x 10 >>> Autres rectangles à trous

Carrés et rectangles à trou

Le problème du tapissier: comment utiliser une moquette de forme carrée sur une pièce rectangulaire dont le centre, un carré ou un rectangle, ne doit pas être couvert ? La solution n'est pas banale. Comment procéder pour y accéder ?

Énigme du tapissier – Carré 10 x 10
Nous disposons d'un bout de carton de forme carrée, de 10 cm de côté. Nous souhaitons utiliser ce carton pour recouvrir le haut d'une boite de 12 cm x 9 cm, tout en ménageant une fente rectangulaire de 1cm x 8 cm Remarque Nous savons que nous avons assez de carton car la surface à couvrir est égale à 12 x 9 – 1 x 8 = 108 – 8 = 100 = 10², l'exacte surface du bout de carton dont nous disposons. Contrainte Le problème se corse lorsqu'on demande de découper le carré de carton en deux morceaux identiques d'un seul tenant, c'est-à-dire, sans procéder à des collages. Ce problème est parfois posé en disant qu'un tapissier doit poser une moquette dans une pièce dont le centre est occupé par une console ou un aquarium.

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Indice
Voici une solution possible: il y a bien deux morceaux identiques et la création d'un rectangle de 9 x 12 avec trou de 1 x 8. Mais, pour confectionner au moins l'un des morceaux, il faut procéder à de la découpe et du collage. Ce n'est pas la solution demandée. Ce n'est pas la solution car, par simple glissement de la pièce verte, on ne peut pas reformer le carré initial (ici, figuré en marron).

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Carré 4 x 4

Le carré de départ est en 1. Les figures de 2 à 5 présentent des solutions pour lesquelles la surface des carrés bleus et celle des carrés verts sont égales à 8, la moitié de celle du carré initial. Ces solutions répondent à une partie de l'énoncé du problème: deux morceaux identiques pris dans le carré initial. En 2, découpe du carré en escalier, sans création de trou. Il existe d'autres découpes ayant le même résultat. En 3 et 4, deux configurations créant des trous, mais la pièce verte doit être créée par collage; il n'est pas possible de reformer le carré d'origine par simple glissement de la pièce verte. En 5, c'est une solution conforme à l'énoncé: deux pièces identiques d'un seul tenant avec création d'un trou rectangulaire central. Examinons, maintenant, les solutions pour des carrés de 6 et 8 de côté. La solution pour 10 est donnée in fine.

Carré 6 x 6
Voici la solution pour un carré 6 x 6 avec trou central de 3 x 3. Surface du carré: 6 x 6 = 36 Surface du rectangle troué: 5 x 9 – 9 = 36. Essayons de réduire la surface du trou central Solution avec un rectangle de 5 x 8 – 4

Carré 8 x 8
Carré 10 x 10 transformé en rectangle avec trou de taille minimale. Rectangle 6 x 11 et trou 1 x 2.

Principe de construction de la solution du 10 x 10

Montrons les deux configurations: Positions de chacun des petits carrés Un petit carré (1) de la pièce bleue se retrouve en (2) dans le rectangle Par symétrie, il engendre le petit carré (3) de la pièce verte qui sera positionné en (4) dans le rectangle. Tous les petits carrés subiront la même règle. Reste à déterminer ceux qui seront bleus et ceux qui seront verts. Position du trou Tout le problème consiste à contourner le trou rectangulaire. Sa position dans le rectangle est centrale (5) Ce qui correspond à la position (6) dans le carré. La pièce bleue ne doit pas recouvrir ce trou (6). Aucun des petits carrés de ce rectangle n'est bleu. Ils sont verts (8) Les carrés de la zone (7) sont ceux qui, en passant dans le rectangle, vont atterrir dans la fente (5). Aucun de ceux-ci n'est vert. Ils sont bleus (9) La zone bleue (9) reste à sa place dans le rectangle en (11) Quant à la zone verte (8), elle glisse en position (10) Les zones (10) et (11) encadrent le trou final (jaune). C'est bien ce que nous cherchions. La suite se construit de la même manière pas à pas.

Énigme du tapissier Solution du carré 10 x 10

À l'évidence, la surface à couvrir étant de 100 cm², chacun des morceaux identiques couvriront 50 cm². L'astuce consiste à trouver une forme en escalier qui s'emboite l'une dans l'autre. Découpe du carré en deux pièces, l'une bleu et l'autre verte. Un coup de ciseau en zigzag produit directement les deux pièces. Le fond marron représente le carré initial 10 x 10. Couverture du carré avec les deux pièces bleue et verte, et, à droite, glissement de la pièce verte pour couvrir le rectangle troué La solution est unique. Patron pour réaliser la découpe du carré

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Autres rectangles à trous à partir du carré 10 x 10
Voici trois autres exemples de formation d'un rectangle à trou à partir d'un carré. Dans chaque cas: La pièce verte et la pièce bleue sont identiques; et La somme de leur surface est égale à celle du carré marron. 14 x 8 – 2 x 6 16 x 7 – 3 x 4 18 x 6 – 2 x 4 Par contre, elles ne permettent pas la reconstitution du carré de départ par simple glissement de la pièce bleue.

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