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Édition du: 02/04/2024 |
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INDEX |
Échecs – Cavalier |
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Quelles est la
distance (le nombre de mouvements) pour qu'un cavalier passe d'une case à une
autre ? Sur l'illustration, la distance pour relier les deux positions en
rouge est 4. Quelle est la
distance maximale, celle pour passer un coin au coin opposé sur un échiquier
de taille quelconque ? |
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Sommaire de cette page >>> Distance minimale entre cases de
l'échiquier >>> Distance minimale pour le 8x8 >>> Échiquier de taille n×n |
Débutants Glossaire |
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Départ en haut à gauche Les croix noires montrent les déplacements
possibles en un seul mouvement. On note ces positions avec un 1 |
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En deux mouvements On note 2 toutes les cases que le cavalier
atteindrait s'il était dans une des postions 1. Notez que le
"2" en rose est atteint par deux chemins. Il existe donc plusieurs
chemins minimums possibles pour rejoindre deux cases. |
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D'un coin à l'autre On poursuit le remplissage de l'échiquier avec le
troisième mouvement, puis le quatrième. Un cinquième mouvement est nécessaire et laisse
la case en bas à droite libre La distance minimale entre deux coins opposés est
donc 6. En dressant ces tableaux pour toutes les
positions de départ sur l'échiquier, on montre que la distance maximale entre
deux cases est égale à 5, sauf pour rejoindre deux coins opposés où la
distance est 6. |
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Un chemin possible pour relier
deux coins opposés
a8 – c7 – e8 – g7 – h5 – g3 – h1
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Paramètres La distance normale (euclidienne) entre le centre
des deux cases opposées est D. La distance parcourue par le cavalier à chaque
mouvement est d. La quantité brute de mouvements nécessaire est q,
un nombre entier. Or, les cases sont de même couleur, ce qui
implique une quantité Q paire de mouvements |
Calculs
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La distance
(D) minimale de l'échiquier pour le cavalier (aussi appelée le diamètre) est la distance minimale parmi toutes
les distantes permettant de relier une case à une autre. Échiquier carré de taille
quelconque On a constaté que la distance minimale pour un
échiquier classique 8x8 est égale à 6. L'encyclopédie OEIS
A232007 liste les distances minimales pour des échiquiers de taille n×n. Formule de calcul
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0, -1, -1, 5, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8,
9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21,
22, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34,
34, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 42, 42, 43, 44, 44, 45, 46, 46, … Le -1 indique une impossibilité. Par exemple, avec le 3x3, il est
impossible d'atteindre la case centrale depuis les autres. |
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Distance sur l'échiquier 11 × 11
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Quel est le problème ? La distance (D) minimale de l'échiquier pour le
cavalier (aussi appelée le diamètre) est la distance minimale parmi toutes
les distantes permettant de relier une case à une autre. Le trajet (T) le plus court pour rejoindre un
coin au coin opposé est la distance minimale pour ce seul cas, pas pour
toutes des liaisons entre cases. |
Différence entre distance et trajet
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Trajets minimums pour échiquier de
3 à 8
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