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PUZZLES ARITHMÉTIQUES

Cryptarithmes ou cryptogrammes

avec des soustractions

SIMPLE

Remplacer chaque lettre par un chiffre différent et obtenez une soustraction juste.

	V	E	N	U	S
-	E	A	R	T	H
=		M	A	R	S

Solution

Voir DIX² - SIX²

REPDIGIT

Remplacer chacune des neuf lettres par un des neuf chiffres et obtenez une soustraction donnant le repdigit 33 333.

Solution double mais très proches l'une de l'autre.

	a	b	c	d	e
-		f	g	h	i
=	3	3	3	3	3

Solution

Essayez avec les autres repdigits (11 111, 22 222, 44 444 etc.)

SIMPLE - Solution

	V	E	N	U	S
-	E	A	R	T	H
=		M	A	R	S

	5	4	7	3	9
-	4	6	1	2	0
=		8	6	1	9

Retour

REPDIGIT - Solution

	a	b	c	d	e
-		f	g	h	i
=	3	3	3	3	3

Solution

	4	1	2	6	8
-		7	9	3	5
=	3	3	3	3	3

Variante

	4	1	2	8	6
-		7	9	5	3
=	3	3	3	3	3

Résolution

Remarque liminaire

La valeur de a ne peut être que 3

Ou, alors 4 avec une retenue

car 3 – 0 = 3

car 4 – (0+1) = 3

Familiarisation

Essayons une solution sans retenue du tout, et posons donc a = 3

Quelles sont les couples de chiffres dont la soustraction donne 3?

Ø Chaque colonne ci-contre montre une possibilité

Observez cette liste! À gauche en bas 654 et en haut à droite 654. Ce qui veut dire que, après trois choix, le quatrième reprendra un chiffre déjà pris

Ø Or il en faut quatre pour remplir les quatre colonnes de l'opération

Toutes les possibilités avec les neuf chiffres (or le 3) pour que y - x = 3

Tableau 1

9	8	7	6	5	4
6	5	4	3	2	1
3	3	3	3	3	3

Opération : essais

	3	9	8	7	e
-		6	5	4	i
=	3	3	3	3	3

Impossible de poursuivre

Il y a une ou des retenues dans cette opération

Systématisation

Quels sont les couples de chiffres dont la soustraction donne 3, avec retenue prise en compte si elle existe et, créant ou non une retenue?

Attention à la lecture du tableau: chaque colonne de chiffres est une soustraction

Tableau 2

	Pas de retenue antérieure	Avec une retenue antérieure
Sans créer une retenue	^00 9 8 7 6 5 4 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3	^01 9 8 7 6 5 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3
En créant une retenue	^10 ^12 ^11 9 8 0 0 3 3	^11 ^13 ^12 ^11 9 8 7 1 1 1 3 3 3

Vérification du tableau: la somme des 3 chiffres du bas donne celui du haut (ex: 7+1+3 = 11)

Le tableau présente quatre cases. En vert, la caractérisation de chacune selon que

- l'opération crée une retenue ou non (exposant) et

- l'opération doit prendre en compte une retenue venant de l'opération précédente (indice)

Remarques

Avec ce tableau vous constaterez qu'il n'est pas possible d'avoir des retenues sur toutes les colonnes, car il n'y a que trois possibilités (bas du tableau) pour un besoin de 4 colonnes dans l'opération.

Comme il faut créer au moins une retenue, nous trouverons un 1, un 2 ou un 3 en haut de l'opération (pour b, c, d ou e).

Finition

Arrivé là, je n'ai pas vu d'autres méthodes plus logiques que de procéder par essais successifs pour atteindre la solution.

Mais, avec ce tableau vous êtes armés pour tester les diverses configurations de l'opération. Certains essais s'arrêtent rapidement.

Suite	Multiplication Soustraction
Voir	Addition Alphabet parlant Anagramme de chiffres Carré magique à deviner Équation – Glossaire Jeux – Index Jeux avec nombres retournés Sudoku
DicoNombre	100 en chiffres et autres … Nombre 381 654 729
Site	Popular Web Sites for "cryptarithm"
Livre	Pour le plaisir de se casser la tête de Louis Thépault Il comporte de nombreux cas avec leur résolution Passionnant!
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