NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/06/2015 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Théorie des Nombres
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INDEX Accueil Sommaire Carrés	1 et 2 carrés	Introduction	Premières idées	Table 1 à 100
		Théorème	Quantité
	3 et 4 carrés	Somme 3 carrés	Somme 4 carrés
		Sommaire de cette page >>> Division par 4 >>> Multiplication par 4 >>> Produit

SOMME de deux CARRÉS

Premières idées

Les premiers pas vers la caractérisation des nombres qui sont somme de deux carrés.

On introduit la fonction h(n) qui vaut:

1 si le nombre est bien somme de 2 carrés, et

0 dans le cas contraire.

DIVISION par 4
Théorème Si un nombre divisé par 4 donne un reste de 3, il n'est pas somme de deux carrés.	si n = 3 mod 4, alors h(n) = 0
Démonstration
Si le nombre est somme de deux carrés, on pose =>	n	= a² + b²
Divisé par 2, chacun a un reste de 0 ou 1. Voir Modulo	a b	= 0 ou 1 mod 2 = 0 ou 1 mod 2
En élevant au carré:	a² b²	= 0 ou 1 mod 4 = 0 ou 1 mod 4
Et, en prenant toutes les sommes possibles.	n = a² + b²	= 0, 1 ou 2 mod 4
Conclusion par contraposition.	n = a² + b²	3 mod 4
Conséquences Avec ce théorème, on sait éliminer toute une série de candidats. Tous les nombres avec un reste de 3 en le divisant par 4. soit 1/4 des nombres, en fait. Exemple 103 = 4 x 25 + 3 est éliminé d'office! Par ailleurs, et c'est une conséquence de ce théorème: Tous les impairs somme de 2 carrés n'étant pas en 4n + 3 sont tous en 4n + 1 Tous les nombres premiers impairs somme de deux carrés sont en 4n + 1

MULTIPLICATION par 4
Théorème Si un nombre est somme de 2 carrés, en le multipliant par 4, il reste somme de 2 carrés. Si un nombre n'est pas somme de 2 carrés, en le multipliant par 4, il n'est pas non plus somme de 2 carrés.	h(n) = h(4n)
Démonstration
Prenons un multiple de 4, somme de 2 carrés.	h(4n)	= 1
Ou plus classiquement:	4n	= a² + b²
Pour que la somme soit divisible par 4 ou par 2, il est nécessaire que chacun des termes soir pair.	a b	= 2u = 2v
Nouvelle expression de la somme:	4n	= (2u)² + (2v)² = 4u² + 4v²
En divisant par 4:	n h(n)	= u² + v² = 1
Conséquences Pour qu'un nombre multiplié par 4 soit somme de 2 carrés, il est nécessaire que le nombre lui-même soit déjà une somme de 2 carrés. S'il ne l'est pas, la multiplication par 4 ne l'est pas non plus. Avec ce théorème, nous savons construire des séquences infinies de nombres somme de 2 carrés dés l'instant que nous en tenons un. Même chose pour des séquences de non somme de 2 carrés. Exemples 25 = 3² + 4² 100 = 6² + 8² 400 = 12² + 16²

PRODUITS

Théorème

Le produit de deux nombres somme de 2 carrés est aussi une somme de 2 carrés

h(n) = 1 & h(m) = 1

=> h(n . m) = 1

Démonstration

Si les deux nombres sont somme de 2 carrés, il est possible d'écrire:

n

m

= a² + b²

= c² + d²

Et leur produit:

n . m

= (a² + b²) (c² + d²)

Et selon l'identité de Fibonacci - Lagrange.

= (ad + bc)² + (ac – bd)²

Le produit étant une somme de 2 carrés.

h(n . m)

= 1

Conséquences

Encore un théorème qui permet d'étendre la quantité de nombres somme de 2 carrés..

Exemple

10	=	2	x	5
(1² + 3²)	=	(1² + 1²)	x	(1² + 2²)

Suite	Venons-en au THÉORÈME des deux carrés
Voir	Nombres carrés
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