NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/05/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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	3 et 4 carrés	Somme 3 carrés	Somme 4 carrés
		Sommaire de cette page >>> En bref >>> Approche >>> Analogie >>> Recherche >>> Et alors? >>> Somme de deux carrés >>> Différence de deux carrés

SOMME de deux CARRÉS

Introduction

Tout nombre est somme de quatre carrés, au plus

Quels sont ceux pour lesquels trois suffisent?

Et deux seulement?

Un carré somme de deux carrés est un triplet de Pythagore: C² = A² + B²

Ici, la question est: quel sont les nombres qui sont somme de deux carrés (ou plus): N = A² + B²

Anglais: sum of two square problem or Girand's problem (1627)

En bref

Théorème des deux carrés de Fermat – Nombres premiers

Tout nombre PREMIER est la somme de deux carrés de façon unique si et seulement si il est de la forme 4n + 1.

Fermat, démontré par Euler

Théorème des deux carrés – Nombres quelconques

Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 est à une puissance paire.

De plus, la décomposition est unique si aucun facteur n'est en 4k + 1, ou alors un seul à la puissance unité.

Voir Ces théorèmes / Structure des nombres premiers

Approche
Seuls certains nombres peuvent être somme de deux carrés. Qui sont-ils ? Est-il facile de les caractériser? Oui, mais pas tout à fait immédiat.	1 = 1² 2 = 1² + 1² 3 = 1² + 1² + 1² 4 = 2² 5 = 2² + 1² 6 = 2² + 1² + 1² 7 = 2² + 1² + 1² + 1² 8 = 2² + 2² Etc.

Analogie
n = x² + y² Trouver si un nombre est somme de deux carrés, c'est chercher s'il existe un point de coordonnées entières sur le cercle de rayon n. Les sommes représentées sont les suivantes: 0² + 1² & 1² + 0² 1² + 1² Rien: 3 n'est pas somme de 2 carrés 0² + 2² & 2² + 0² 1² + 2² & 2² + 1²

Recherche
Testons si un nombre donné est somme de deux carrés. Comment s'y prendre? Un peu à la manière du crible d' Ératosthène. Il faut démarrer par la racine du nombre ou plus exactement, l'entier inférieur le plus proche de la racine. Exemple: 458 => 458 = 21,4 => a = 21 Il faut procéder par étapes en faisant décroître ce terme a. Arrêt dès que la soustraction donne un carré.
Autres exemples de calcul

Et alors ?
On sait qu'un nombre n'est pas toujours somme de deux carrés. On sait trouver les termes de la somme si elle existe. Que peut-on dire de plus ? Il faut passer par une phase d'observation avant de trouver des propriétés éventuelles. On introduit la fonction h(n) qui vaut 1 si le nombre est bien somme de 2 carrés 0 dans le cas contraire	Suite Observons ce qui se passe pour les nombres de 1 à 100 Non, je souhaite m'amuser sur ce thème! Voir Somme de deux carrés et utilisation des nombres complexes Somme de deux carrés et nombres congruents Somme de deux carrés et triangles rectangles

Divisibilité de la somme de deux carrés

La somme de deux carrés de nombres pairs est divisible par 4.

Celle de deux nombres impairs l'est par 2.

Carré somme de deux carrés
Dans cette somme de deux carrés, l'un des termes est pair.	a² + b² = c² a ou b est pair
Supposons que l'égalité soit vraie avec a et b impairs.	a² + b² = (2k + 1)² + (2h + 1)² = 4k² + 4j + 1 + 4h² + 4h + 1 = 4 K + 2 avec K un entier positif
Comparé à c:	c² = 4K + 2
Or un carré divisé par 4 ne donne jamais 2 comme reste.	c = 2a c² = 4a² c = 2a + 1 c² = 4a² + 4a + 1
Contradiction.	Notre hypothèse est fausse.

Voir Triplets de Pythagore

Différence de deux carrés de premiers
La différence des carrés de deux nombres premiers n'est jamais un carré de premier.	a² – b² c² a, b et c premiers
Supposons que l'égalité soit vraie. En remarquant que le carré est positif	a² – b² = c²
Factorisation	a² – b² = (a – b) (a + b)
Le premier membre est positif	a + b > 1 évident a – b par conséquent (car le produit = c² est positif)
1) Supposons que a – b = 1 Or a et b sont premiers.	Seule possibilité: a = 3 et b = 2
L'égalité devient:	3² – 2² = 9 – 4 = 5 qui n'est pas un carré.
2) Supposons que a – b > 1 Or c est un nombre premier et ses facteurs sont 1 et c.	a² – b² = (a – b) (a + b) = c²
Cependant:	a + b > 1 a – b > 1
Aucun facteur ne peut égaler 1.	La contradiction infirme notre hypothèse.

Suite	Somme de deux carrés – Tables de valeurs
Voir	Équations diophantiennes Nombres carrés Variations sur les sommes de carrés
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