NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/03/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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SOMME de deux CARRÉS

Table des nombres de 1 à 100

Table exposée pour observation.

Présentation

Le tableau ci-dessous donne la liste des nombres de 1 à 100: Marqué en rouge s'il est carré ou somme de deux carrés. Quatre GRANDES colonnes selon le reste de la division par 4 celle de gauche donne les nombres avec 1 pour reste; la deuxième donne un reste de 2; la troisième donne un reste de 3, soit n = 3 mod 4; et celle de droite correspond aux nombres divisibles par 4. La PETITE colonne h donne la valeur de la fonction arithmétique qui vaut 1 si le nombre est somme de deux carrés (ou carré) 0 s'il ne l'est pas Les colonnes a et b précisent les valeurs des termes de la somme n = a² + b² 5 = 2² + 1² Case en bleu: repérage des nombres premiers.

Tableau

s/T

19

11

0

13

Total: 43 nombres jusqu'à 100 qui sont somme de 2 carrés (< 50%)

dont 5 avec double présentation: 25, 50, 65, 85 et 100.

Liste: 50, 65, 85, 125, 130, 145, 170, 185, 200, 205, 221, 250, 260, 265, 290, 305, 325, 338, 340, 365, 370, 377, 410, 425, 442, 445, 450, 481, 485, 493, 500, 505, 520, 530, 533, 545, 565, 578, 580, 585, 610, 625, 629, 650, 680, 685, 689, 697, 725, 730, 740, 745, 754, 765, … OEIS A007692

Observations

Deux remarques immédiates

La 3^e grande colonne est vide. Tous les nombres en n = 3 mod 4 ne sont jamais somme de deux carrés.

Conséquences:

Tous les impairs somme de deux carrés sont en première colonne; ils sont de la forme 4n + 1.

Tous les nombres premiers impairs somme de deux carrés sont dans la première colonne.

Pour les deux autres colonnes des nombres pairs, rien de bien net!

Second coup d'œil

Les sommes de deux carrés de la colonne 4 sont des multiples de 4.

Le quotient est lui-même une somme de deux carrés.

Un nombre somme de deux carrés multiplié par 4 l'est également.

1	4	8	16	32	64
2	8	…
5	20	80
9	36
10	40
13	52
17	68
18	72
25	100
26

Pour chaque nombre, on donne les termes de la somme de 2 carrés si elle existe

et même chose en multipliant par 4.

1	0	1	2	1	1	3	4	0	2	5	2	1
4	0	2	8	2	2	12	16	0	4	20	2	4
16	0	4	32	4	4	48	64	0	8	80	4	8
64	0	8	128	8	8	192	256	0	16	320	8	16
256	0	16	512	16	16	768	1024	0	32	1280	16	32

6	7	8	2	2	9	0	3	10	1	3
24	28	32	4	4	36	0	6	40	2	6
96	112	128	8	8	144	0	12	160	4	12
384	448	512	16	16	576	0	24	640	8	24
1536	1792	2048	32	32	2304	0	48	2560	16	48

Suite	Voyons maintenant si ces remarques sont généralisables en théorème
Voir	Nombres carrés
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