NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 16/10/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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DIVISIBLE

Une panoplie de théorèmes indispensables.

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

a divise b	PGCD de (a, b)	PPCM de (a, b)
ab	(a, b)	[a, b]

Résumé à retenir

Rappel: le A à l'envers veut dire quel que soit; la barre verticale équivaut à divise

Également important: Lemme d'Euclide et lemme de Gauss

DIVISIBLE
Définition (avec exemple) Lectures alternatives Formulations narratives Soit , on dit que a divise b s'il existe un entier d tel que b = a.d (Soit a et b appartenant à l'ensemble Z des entiers relatifs avec a différent de 0 …) An integer b is divisible by an integer a, not zero, if there is an integer d such that b = a.d

Familiarisation & exemples à retenir

Exemples simples Exemples importants Si un nombre en divise un autre, il divise leur différence. Si a divise b, c'est que b est un multiple de a; lui retrancher a revient à prendre le multiple juste inférieur. Ex: 1339 (= 3 x13) et 1326 (= 39 – 13 = 2 x 13) Si un nombre en divise deux autres, il en divise une combinaison linéaire. Si a divise b et c, il divise u.b + v.c, u et v sont des entiers relatifs Assez évident en mettant en facteur avec b = a.k et c = a.h Alors: u.b + v.c = u.a.k + v.a.h = a (u.k + v.h) Ex: 7 divise 14 et 7 divise 35 alors 7 divise 3x14 + 10x35 = 48 + 350 = 392 = 7 x 56 Lemme d'Euclide Si un nombre premier divise un produit de deux facteurs, il divise l'un ou l'autre des facteurs. Si pb.c alors pb ou pc (ou les deux). Ex: p = 7. Que dire de 84 = 14 x 6 ? Le nombre 7 divise 14. Que dire de 98 = 14 x 7 ? Le nombre 7 divise 14 et 7. Lemme de Gauss Si un nombre divise un produit et s'il est premier avec l'un des facteurs, il divise l'autre facteur. Voir Démonstration Si ab.c et (a, b) = 1 alors a divise c Ex: a = 3 et b = 8 deux nombres sans facteur commun (premiers entre eux ou étrangers). Que dire de 48 = 8 x 6 ? Le nombre 3 divise le facteur 6 mais pas le facteur 8. Évident! Oui en numérique mais moins sous forme littérale et pourtant, propriété très utilisée dans les démonstrations.

THÉORÈMES sur la DIVISIBILITÉ a, b, c, d, n, k, u et v sont des entiers positifs
Quel que soit a	a divise a.
Si a divise b b est multiple de a b = x. a Toutes ces propriétés découlent de cette propriété.	alors a est inférieur à b alors a divise a + b alors a divise a – b alors a² divise a.b alors a^2 divise b^2 alors a^n divise b^n alors a divise k.b alors k.a divise k.b
Si a divise b et a' divise b'	alors a.a' divise b.b'
Si a divise b et b divise a	alors a = b au signe près.
Si a divise b et a divise c	alors a divise b – c alors a divise u.b + v.c
Si a divise b et b divise c	alors a divise c Voir Démo mais, il n'est pas vrai que a.b divise c

Lemme d'Euclide: si un nombre premier p divise le produit a . b,	alors p divise a ou b.
Lemme de Gauss: si m, premier avec a, divise le produit a . b,	alors il divise b.

Voir Lemme d'Euclide-Gauss

Si a est premier et divise un produit,	il divise au moins l'un des facteurs de ce produit.
Si a est premier avec b et si a divise b.c,	alors a divise c.
Si a est premier et divise b^n,	il divise b.
Si a est premier avec b et avec c,	il est premier avec le produit bc.
Si a est premier avec b.c,	il est premier avec b et avec c.
Si a et b sont premiers entre eux,	toute puissance entière de a est première avec toute puissance entière de b.
Si a est premier avec b,	a/b et a^n/b^m sont des fractions minimales (non simplifiables).

Si a/b = c/d et si la fraction a/b est minimale,

alors c et d sont des équimultiples de a et b respectivement: c = k.a et d = k.b

Si a divise 1	a = 1 (1 divise tout entier).
Si a divise 0	a = 0 (tout entier a divise 0).

DÉMONSTRATION de la transitivité
Propriété	Si a divise b et b divise c	Alors	a divise c
Par définition >>>	a b b c	b = c =	a . x b . y
À démontrer	a c	c =	a . z ?
Démonstration	Choisissons	z =	x . y
	Calculons l'expression	a . z =	a . x . y
	Évaluons cette expression		(a . x) . y b . y c
FIN	Conclusion	a . z =	c

DIVISEURS (tous les nombres sont des entiers)
Si	Alors
a divise b non nul	Le diviseur est inférieur au nombre.
Les diviseurs d'un entier non nul	sont en nombre fini.
Tout diviseur d d'un entier a > 0
Pour qu'un entier a soit divisible par entier b non nul, il faut et il suffit que	a / b soit un entier.

Bilan

Nous avons vu les notions de divisibilité

Le diviseur de a, s'il existe,

est un nombre compris

entre 1 et a

Nous sommes prêts à aborder la division

Bof ! Je préfère jouer un peu avec Divisibilité / Diviseurs

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