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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 26/09/2011

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Glossaire

Nombre

 

Puissance de dix

 

Échelle de dix

Puissances de dix

P10 (suite)

P10 et multimédia

10n – n 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Quantité de 0 et de 9

>>> EXEMPLE: 1023 – 23 

>>> Observations sur un nombre n de q chiffres

>>>  Départager les puissances de 10

>>> Formulation

 

 

 

 

10n – n

Comporte combien de fois

le chiffre "9"?

 

*    On montre l'approche pas à pas >>>

*    Puis le bilan >>>

 

 

Approche

 

*      Il est amusant de constater combien donne la soustraction d'une unité à partir  de 100 ou 1000 ou 10n.

*      Mais, alors dans la forme la plus générale, combien de fois retrouve-t-on le chiffre "9" dans le résultat.

 

10 – 1 =      9

100 – 1 =    99

1 000 – 1  = 999

10 n – 1 = 9…99

 

 

 

Quantité de zéros et de neufs

 

On observe:

100

100 – 1 = 99

 

1 000

1 000 – 1 = 999

1 000 – 11 = 989

 

Une forme particulière

103 – 3 = 997

104 – 4 = 9 996

105 – 5 = 99 995

106 – 6 = 999 994

…

109 – 9 = 999 999 991

1010 – 10 = 9 999 999 990

1011 – 11 = 99 999 999 989

1012 – 12 = 99 999 999 988

…

1020 – 20 = 99 999 999 999 999 999 980

1021 – 21 = 999 999 999 999 999 999 979

1022 – 22 = 9 999 999 999 999 999 999 978

 

 

 

 

 

3 chiffres; 2 zéros.

2 chiffres; 2 neufs.

 

4 chiffres; 3 zéros.

3 chiffres; 3 neufs.

3 chiffres; 2 neufs.

 

 

3 chiffres; 2 neufs.

4 chiffres; 3 neufs.

5 chiffres; 4 neufs.

6 chiffres; 5 neufs.

…

9 chiffres; 8 neufs.

10 chiffres; 9 neufs.

11 chiffres; 10 neufs.

12 chiffres; 10 neufs.

…

20 chiffres; 18 neufs.

21 chiffres; 20 neufs.

22 chiffres; 20 neufs.

 

 

 

 

EXEMPLE: 1023 – 23  

 

*           Le nombre1023 comporte 23 chiffres: un "1" et 23 "0".

 

Si je retranche 1

 

*           En retirant 1 de 1000 = 103, nous obtenons 999;
      nombre qui comporte 3 fois le chiffre "9".

*           En retirant 1 de 1023 on obtient le nombre 999 … 999
       qui comporte 23 "neufs".

 

Si je retranche 23

 

*           En retirant 23 de      100,      nous obtenons         77;
En retirant 23 de   1 000,      nous obtenons       977;
En retirant 23 de 10 000,      nous obtenons    9 977;

*           En retirant 23 de 1023 on obtient le nombre 999 … 977
Seuls les deux derniers chiffres sont impactés.
La quantité de "9" devient: 23 – 2 = 21

 

1023 – 23  contient 21 fois le chiffre "9".

 

C'est l'exposant n moins la quantité u de chiffres dans n.

Est-ce la loi que nous cherchons?

Attention aux pièges.

 

 

 

Observations sur un nombre n de q chiffres

n

q

 

10n - n

Non 9

Qté "9"

n – q

1

1

 

 9

0

1

0

2

1

 

 9 8

1

1

1

3

1

 

 99 7

1

2

2

4

1

 

 999 6

1

3

3

5

1

 

 9999 5

1

4

4

6

1

 

 99999 4

1

5

5

7

1

 

 999999 3

1

6

6

8

1

 

 9999999 2

1

7

7

9

1

 

 99999999 1

1

8

8

10

2

 

 999999999 0

1

9

8

11

2

 

 9999999998 9

1

10

9

12

2

 

 9999999999 88

2

10

10

13

2

 

 99999999999 87

2

11

11

14

2

 

 999999999999 86

2

12

12

15

2

 

 9…99 85

2

13

13

16

2

 

 9…99 84

2

14

14

17

2

 

 9…99 83

2

15

15

18

2

 

 9…99 82

2

16

16

19

2

 

 9…99 81

2

17

17

20

2

 

 9…99 80

2

18

18

21

2

 

9…99 79

1

20

19

22

2

 

9…99 78

2

20

20

 

 

 

…

 

 

 

30

2

 

9…99 70

2

28

28

31

2

 

9…99 69

1

30

29

32

2

 

9…99 68

2

30

30

 

 

 

…

 

 

 

99

2

 

9…99 01

2

97

97

100

3

 

9…99 900

2

98

97

101

3

 

9…99 899

1

100

98

102

3

 

9…99 898

2

100

99

103

3

 

9…99 897

2

101

100

 

 

 

…

 

 

 

109

3

 

9…99 891

2

107

106

110

3

 

9…99 890

2

108

107

111

3

 

9…99 889

2

109

108

112

3

 

9…99 888

3

109

109

113

3

 

9…99 887

3

110

110

 

 

 

…

 

 

 

999

3

 

9…99 9001

3

996

996

1 000

4

 

9…99 9000

3

997

996

1 001

4

 

9…99 8999

1

1 000

997

1 002

4

 

9…99 8998

2

1 000

998

1 003

4

 

9…99 8997

2

1001

999

 

 

 

…

 

 

 

1 009

4

 

9…99 8991

2

1 007

1 005

1 010

4

 

9…99 8990

2

1 008

1 006

1 011

4

 

9…99 8989

2

1 009

1 007

1 012

4

 

9…99 8988

3

1 009

1 008

 

 

 

…

 

 

 

1 099

4

 

9…99 8901

3

1 096

1 095

1 100

4

 

9…99 8900

3

1 097

1 096

1 101

4

 

9…99 8899

2

1 099

1 097

1 102

4

 

9…99 8898

3

1 099

 1 098

 

 

 

…

 

 

 

1 109

4

 

9…99 8891

3

1 106

1 105

1 110

4

 

9…99 8890

3

1 107

1 106

 1 111

4

 

9…99 8889

3

1 108

1 107

 1 112

4

 

9…99 8888

4

1 108

1 108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Départager les puissances de 10

 

*      On a compris qu'il est possible de ne s'intéresser qu'aux chiffres de droites susceptibles de bouger dans la soustraction.

*      On formalise en introduisant q la quantité de chiffre du nombre n à soustraire du nombre 10n.

*      On peut ainsi affirmer qu'il y a au moins n-q fois le chiffre "9".

 

1000 – 7

= (1 000 – 10) + (10 – 7)

=         990     + (10 – 7)

=         990     +     3

 

10n – n

= (10n  - 10q) + (10q – n)

=   9 …99n-q  + (10q – n)

 

 

Formulation

 

*      Des développements ci-dessus, nous retenons que trouver une formule pour donner immédiatement la quantité de "9" n'est pas simple.

*      Il vaut mieux se référer au fait générateur d'élimination ou d'apparition de "9" dans la soustraction.

 

On peut également conclure que:

N = n est un majorant et

N = n – q est un minorant
de la quantité de "9" dans le nombre 10n – n, où n est un nombre de q chiffres.

 

Analyse du 0

 

*      Prenons un nombre se terminant par 10, comme 210 ou 2210 …
Comme le montre le tableau, le résultat de la soustraction se termine par 90.

 

… 100 (puissance de 10)

….900 (résultat de la soustraction)

Les "0" des unités génèrent un 0.

Le "1" des dizaines génère un 9.

*      Une telle configuration "éteint" autant de "9" qu'il y a de "0".

… 1 0z => -  z fois le chiffe "9".

 

Ex: 101 000 – 1 000 

     = 9 … 999 000

Il y a au plus 1 000 fois le "9" moins trois éteints par trois "0". Soit 997 fois le "9".

 

Analyse du 1

 

*      Prenons un nombre comportant une succession de 1, comme 11, 111 …

… 1 1 1

… 889

Le "1" de droite engendre un "9".

Les suivants à gauche, donnent des "8"

*      Une telle configuration "éteint" autant de "9" qu'il y a de "1" poins un.

… 1u 0 => - u fois le chiffre "9".

 

Ex: 101 111 – 1 1 1 1

     = 9 … 9 8889

Il y a au plus 1 111 fois le "9" moins trois (4-1) éteints par quatre "1". Soit 1 108 fois le "9".

 

 

BILAN

 

*      Les deux effets se cumulent:

*       à partir du majorant n,

*       on soustrait autant de fois z , la quantité de "0" à droite d'un "1"; puis

*       on soustrait autant de fois u – 1 qu'il y a de séquence 1u0.

*       on soustrait autant de fois u qu'il y a de séquence 1u a, avec a différent de "0".

 

Note

*      … 1111 donne … 8889
Cette séquence est bien à prendre au sens du dernier alinéa: séquence de trois "1" suivie d'un chiffre différent de "0". Soit génération de trois non-"9".

 

 

Exemple de décompte

 

*      On identifie successivement les séquences 10z et les séquences 1n0.

*      On somme tous ces retraits
Ex: 3 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 9.

*      La quantité potentielle de la quantité de "9" est, bien entendu, le nombre de chiffres.
Ex: 14.

*      on retranche la quantité des non-"9" que nous venons de calculer.
Ex: 14 – 9 = 5.

*      Pour enfin donner la quantité de "9".
Ex: 5.

N = n

- z      pour tout … 1 0z

- (u-1) pour tout … 1u 0

 

Ex: 101 110 – 1 1 10

      = 9 … 9 8890

Il y a au plus 1 110 fois le "9" moins un (10) et moins deux (1110). Soit 1 107 fois le "9".

 

Exemple

10011101011000

 89988898989000

Nombre de 14 chiffres => potentiellement 14 "9" et il y en a en fait 5.

 

10011101011000

89988898989000

3 "0" à droite => -3

 

10011101011000

89988898989000

Séquence110 => -1

 

10011101011000

 89988898989000

Un "0" à droite => -1

 

10011101011000

 89988898989000

Un "0" à droite => -1

 

10011101011000

89988898989000

Séquence1110 => -2

 

10011101011000

 89988898989000

Un "0" à droite => -1

 

 

*      Pour terminer, il faut également s'occuper des chiffres 2 à 9.

On ajoute l'opération suivante:

 

*       retrancher la quantité de chiffres non "0" et non "1".

 

Ex: il y a

1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 8 non "9"

pour  10 chiffres

Soit: 10 – 8 = 2 fois le "9".

10000000000

-1011123110

= 8988876890

 

1011123110

-1 pour 8988876890

 

1011123110

-1 pour 8988876890

 

1011123110

-2 pour 8988876890

 

1011123110

-3 pour 8988876890

 

1011123110

-1 pour 8988876890

 

 

 

 

Commentaires

*    Cette page fit partie d'un pur exercice intellectuel. Il est souvent plus facile d'effectuer la soustraction et de compter.

 

 

 

 

Suite

*   Petits et grands nombres

*    Très grands nombres

*    Maximum avec trois chiffres

Voir

*    Constante 10 puissance 122

*    Jeux avec les nombres

*    Multiplication

*    Nombre 10

*    Puissance de deux

*    Puissances – Index

*    Puissances et exposants

*    Soustraction