NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
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Produit de DEUX nombres consécutifs

Toujours divisible par 2 au moins

Approche
Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 2 Que se passe-t-il si n est pair ou multiple de 2 ?	2 | n (n+ 1) Exemple 3 x 4 = 12 = 2 x 6 4 x 5 = 10 = 2 x 5
Note n (n+ 1) = n^2 – n Notation: la barre verticale signifie "divise"
Note: la somme de deux nombres consécutifs ne présente pas d'intérêt:. L'un est pair et l'autre impair. LA somme n'est pas divisible par 2, ni par aucun nombre d'ailleurs. En fait le PGCD de nombres consécutifs est toujours égal à 1 (aucun diviseur commun)

Observation des valeurs numériques
Le tableau donne la valeur du produit P = n (n+1) pour n pair. Ce produit est divisé successivement par 2, 4, 8, 16 et 32. En rouge les valeurs non fractionnaires.
Conclusions liées aux observations	n (n+1) Divisible par 2 toujours Divisible par 4 pour n = 4k et 4k – 1 Divisible par 8 pour n = 8k et 8k – 1 Divisible par 16 pour n = 16k et 16k – 1 … Divisible par 2^p pour n = 2^p et n = 2^p – 1
Note: Le cas de deux nombres consécutifs est en fait bien banal 31 x 32 et 32 x 33 sont divisibles chacun par 32 évidemment!

Explications - Cas des multiples de 4
Remplaçons n par 4k Cette expression est divisible par 4 Or le produit est déjà divisible par 2	n (n + 1) = 4k (4k + 1) = 16k^2 + 4k 4 | n (n + 1) 2 | n (n + 1)
Le diviseur 4 l'emporte	4 | n (n + 1) pour n = 4k
La formule peut aussi avec n = 4k – 1 Avec le même raisonnement et la même conclusion	n (n + 1) = (4k – 1) 4k = 16k^2 - 4k 4 | n (n + 1) pour n = 4k – 1
PPCM: Plus petit commun multiple. Ici: 4 = 2 x 2 et 6 = 2 x 3 L'un des facteurs 2 est en commun, il ne compte qu'une seule fois. Les autres sont uniques, ils comptent pleinement. Soit le PPCM de (4 et 6) = 2 x 2 x 3 = 12

Suite en Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs / pairs

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
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