NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Observation des valeurs numériques >>> Explications – Cas des multiples de 4

Produit de TROIS nombres consécutifs

IMPAIR / PAIR / IMPAIR

Toujours divisible par 12 au moins

Approche
Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 Que se passe-t-il si n est pair ou multiple de 2 ?	6 | (n – 1) n (n+ 1) Exemple 3 x 4 x 5 = 60 = 6 x 10 4 x 5 x 6 = 120 = 6 x 20
Note (n – 1) n (n + 1) = n (n – 1) (n + 1) = n (n² – 1) = n^3 – n Notation: la barre verticale signifie "divise"
Note: la somme de trois nombres consécutifs ne présente pas d'intérêt: Au mieux, sur trois nombres consécutifs deux sont pairs et le troisième impair. ce qui ne suffit pas pour que la somme soit divisible par 2. En fait le PGCD de nombres consécutifs est toujours égal à 1 (aucun diviseur commun)

Observation des valeurs numériques
Le tableau donne la valeur du produit P = (n – 1) n (n + 1) pour n pair. Ce produit est divisé successivement par 6, 12, 24 et 48. En rouge les valeurs non fractionnaires. Ex: 5 x 6 x 7 = 210 divisible par 6 et par 12
Conclusions liées aux observations	Pour n pair: (n – 1) n (n + 1) Divisible par 6 pour n = 2k C'est la règle générale qui s'applique Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 Divisible par 12 pour n = 4k Divisible par 24 pour n = 8k Divisible par 48 pour n = 16k … Divisible par 3 x 2^p pour n = 2^p

Explications - Cas des multiples de 4
Remplaçons n par 4k Cette expression est divisible par 4 Or le produit est déjà divisible par 6	(n - 1) n (n + 1) = (4k - 1) 4k (4k + 1) = 64k^3 - 4k 4 | (n - 1) n (n + 1) 6 | (n - 1) n (n + 1)
Il est divisible par le PPCM de ces deux diviseurs.	PPCM (4,6) = 12 12 | (n - 1) n (n + 1) pour n = 4k
PPCM: Plus petit commun multiple. Ici: 4 = 2 x 2 et 6 = 2 x 3 L'un des facteurs 2 est en commun, il ne compte qu'une seule fois. Les autres sont uniques, ils comptent pleinement. Soit le PPCM de (4 et 6) = 2 x 2 x 3 = 12

Suite en Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs / impairs

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
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