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		Sommaire de cette page >>> Identités x^n – 1 >>> Identités n^k – n (puissance – nombre)

IDENTITÉS Spéciales Cas de: a^n – 1
Ce polynôme est toujours divisible par n – 1. 10^3 – 1 = 999 = 9 x 111 5^5 – 1 = 3 124 = 781	La factorisation produit un polynôme somme de puissances successives. Si a est une base de numération, a^n – 1 est converti en un repdigit de base a – 1. 3^4 – 1 = 80 = (3 – 1) x (3^3 + 3^2 + 3 + 1) = 2 x 11113 = 22223

IDENTITÉS – Factorisation maximale de xⁿ – 1

Tableau avec valeur de n puis factorisation de xⁿ – 1

Exemple pour n = 3 => x³ – 1 = (x – 1) ( x² + x + 1)

(le point est bien le signe multiplier)

1	(x – 1)
2	(x – 1) • (x + 1)
3	(x – 1)	• (x^2 + x + 1)
4	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + 1)
5	(x – 1)	• (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
6	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + x + 1) • (x^2 – x + 1)
7	(x – 1)	• (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2+ x + 1)
8	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + 1) • (x^4+ 1)
9	(x – 1)	• (x^2 + x + 1) • (x^6 + x^3 + 1)
10	(x – 1) • (x + 1)	• (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) • (x^4 – x^3 + x^2 – x + 1)
11	(x – 1)	• (1 + x^10 + x^9+ x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x)
12	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + x + 1) • (x^2 – x + 1) • (x^2 + 1) • (x^4 – x^2 + 1)
13	(x – 1)	• (1 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x)
14	(x – 1) • (x + 1)	• (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) • (1 – x + x^2 – x^3 + x^4 – x^5 + x^6)
15	(x – 1)	• (x^4+ x^3 + x^2 + x + 1) • (x^2 + x + 1) • (1 – x + x^3 – x^4 + x^5 – x^7 + x^8)
16	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + 1) • (x^4 + 1) • (x^8 + 1)
17	(x – 1)	• (1 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x)
18	(x – 1) • (x + 1)	• (x^2 + x + 1) • (x^6 + x^3 + 1) • (x^2 – x + 1) • (x^6 – x^3 + 1)
19	(x – 1)	• (1 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x)
20	(x – 1) • (x + 1)	• (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) • (x^4 – x^3 + x^2 – x + 1) • (x^2 + 1) • (x^8 – x^6 + x^4– x^2 + 1)

Cas de n^k – n = n (n^k^– 1 – 1)
Il s'agit, bien entendu, des mêmes relations que celles vues ci-dessus, multipliée par n. Intérêt: propriétés de la différence entre nombre et sa puissance k. Un nombre et ses puissances sont de même parité. Tous les développements comprennent les facteurs n (n – 1), deux nombres consécutifs; le produit est divisible par 2 Un nombre diffère de sa puissance impaire par un multiple de 6. Tous les développements comprennent les facteurs (n – 1) n (n + 1), trois nombres consécutifs; le produit est divisible par 6. Ex: 27 – 3 = 24 = 6 x 4 / 243 – 3 = 240 = 6 x 40 / 2187 – 3 = 2184 = 6 x 364
Pair
Impair

Voir Cubes / Nombres somme de cubes (Taxicab) / Divisibilité

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