NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/12/2013 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	PUISSANCE de 2
Débutants Général	Fermat et Mersenne		Glossaire Général
INDEX Transcendants		Liouville
		Sommaire de cette page >>> Nombre de Liouville >>> Approximation rationnelle >>> Généralisation

Liouville (1809-1882), mathématicien français. Enseignant à Polytechnique. Prolixe avec plus de quatre cents publications.

Analyse complexe (théorème de Liouville),

Théorie des nombres (nombres transcendants, nombres de Liouville).

Méthode de Liouville >>>

Mécanique céleste.

C'est Liouville qui, en 1842, présentera les travaux de Galois (1811-1832) à l'Académie alors que d'autres, comme Cauchy, les avaient ignorés durant plus de dix ans.

Voir Contemporains

NOMBRE de LIOUVILLE

Nombre transcendant de Liouville 0,11 000 1 00000 000000000000 1 000000000.... = 10^-1! + 10^-2! + 10^-3! + 10^-4! +... Les "1" se trouvent en position 1, 2, 6, 24, 120 … = k! Soit, une multiplication de chacune par 2, 3, 4, 5 … Ce nombre est irrationnel, mais aussi non-algébrique. Liouville démontra en 1844 l'existence de nombres transcendants et en construisit plusieurs, dont celui-ci, le plus simple qui est ainsi le premier exemple de nombre transcendant. Pourtant plus tard, Cantor établira que presque tous les nombres sont transcendants ! Back in 1844, Joseph Liouville came up with this number. He had successfully made the first provable Transcendental Number. That number is now known as the Liouville Constant. And it is a Liouville Number.

APPROXIMATION RATIONNELLE

Principe de la démonstration de Liouville La constante de Liouville est un nombre réel x qui a la propriété suivante: Pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q, avec q > 1, tels que: Or, x est irrationnel; il y aura toujours une différence entre x et la fraction rationnelle. La partie droite de l'inégalité montre que cette différence peut être aussi petite que l'on veut. Sans pour autant atteindre l'égalité. Liouville a démontré que si les approximations rationnelles forment une série rapidement convergente, alors le nombre est transcendant. À noter: quelle que soit la valeur de n, il existe une infinité de fractions p/q répondant à cette inégalité.

Généralisation
Les nombres de cette forme sont transcendants: est un entier non nul et C est un nombre compris entre 0 et , non constamment nul à partir de n. On obtient un nombre de Liouville en base . Avec C = 1 et = 10, on retrouve le nombre classique donné au début.

NOMBRE de LIOUVILLE – ERDÖS

Nombre transcendant de Liouville-Erdös La construction de ce nombre consiste à mettre le nième nombre premier à la position décimale n². Pour information, on a indiqué cette position avec l'indice n² qui suit le nombre n déposé dans le nombre de Liouville-Erdös. LE = 0,21 0034 000059 000000716 00000001125 0000000001336 000… Ce nombre semble extraordinaire, car il permet de calculer le nième nombre premier. Mais, attention, pas de miracle: ce nombre est construit à partir des nombres premiers. Logique de les retrouver. La formule qui permet de les retrouver est la suivante, sachant que les parenthèses carrées indiquent qu'il faut prendre la partie entière de l'expression: Cherchons quel est le troisième nombre premier avec n = 3: LE3 = [LE x 10^3²] – [LE x 10^2²] x 10^5 = [LE x 10^9] – [LE x 10^4] x 10^5 = [200300005,0000007000…] – [2003,000050000007000…] x 10^5 = 200300005 – 2003 x 10^5 = 200300005 – 200300000 = 5

Voir	Nombre de Thue-Morse Réels, Rationnels, Irrationnels et Transcendants Nom des nombres - Index
Livre	Les indispensables mathématiques et physiques pour tous – Alexandre Moatti – Odile Jacob – 2006. Pour tous ceux qui veulent compléter leurs connaissances sur ce sujet et bien d'autres. Très abordable.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Liouvill.htm