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La science est incapable
de se pencher sur les femmes: l'irrationnel n'est pas son domaine Oscar Wilde |
Voir
Pensées & humour
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NOMBRES
IRRATIONNELS Nombres qui ne peuvent pas être exprimés par une
fraction. Nombres à virgule, dont les décimales sont
imprédictibles. |
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Le
quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre n'est pas un nombre
rationnel: La
longueur de la diagonale d'un carré ne peut pas être exprimée par un nombre
rationnel:
NOMBRE
IRRATIONNEL: Nombre
décimal NON périodique; Quantité
illimitée de décimales non répétitives. Nombres
irrationnels: tous les nombres qui ne sont pas rationnels, qui ne peuvent pas
s'écrire sous la forme d'une fraction de nombres
entiers. |
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Nombres entiers La plus rudimentaire des lignes que l'on
puisse imaginer est celle sur laquelle on porte, selon une unité de mesure
conventionnelle, la suite de nombres entiers: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
etc. Une fois répartis régulièrement sur toute
la longueur, cette suite est manifestement infinie, mais elle laisse des
espaces vacants. Nombres rationnels Pour remplir l'espace libre et donner une
" étiquette " à chaque point, on peut diviser
indéfiniment les intervalles en fractions: 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5
1/6 1/7 1/8 1/9 etc. Ce procédé était connu des Grecs. C'est la
suite des nombres rationnels. Nombres irrationnels Modèle idéal, mais qui manifestement
comporte encore des trous d'un autre niveau, comme le constatait Pythagore! En effet, quelle est la longueur d'une
barrière qui coupe en diagonale un lopin de terre en forme de carré de 1 km
de côté? Réponse:
Ça n'est pas une fraction. Ca n'est pas rationnel.
C'est irrationnel. Ça n'est pas une fraction. Or sur notre
droite l'espace est rempli continûment par des nombres (étiquettes) entiers
ou fractionnaires (les nombres rationnels). Alors, où faut-il placer ce nouvel individu
Quelle logique adopter? An Irrational
Number is a number that cannot be written as a simple fraction (ratio),
the decimal goes on forever without repeating. |
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La découverte des irrationnels par les
grecs fut une énorme surprise. Pythagore
trouve que la diagonale du carré ne peut pas s'exprimer en fraction du côté! Le rapport entre la diagonale et le côté
n'est pas un nombre entier. Les pythagoriciens fêtèrent la découverte en
sacrifiant 100 bœufs : une hécatombe
de bœufs. Encore au milieu du XIXe siècle, les
mathématiciens face à ce problème, se trouvait dans la même situation que
quelqu'un qui essaie de placer dans l'arbre généalogique une personne
d'allure singulière, d'origine indéterminée. Richard Dedekind, en 1872, relia les rationnels et les irrationnels
sous le nom de réels (droite des réels). Juste après, Georg Cantor confirma que les réels sont encore plus nombreux que les rationnels qui pourtant sont déjà en nombre infini. L'alignement des réels
sur la droite sont encore " plus continu " que les rationnels. Dans la suite des nombres rationnels, les nombres adjacents sont
infiniment proches les uns des autres. Mais les nombres réels adjacents sont encore plus proches
qu'infiniment proches! |
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Parabole du miroir Imaginez deux miroirs se faisant face. On voit sur l'un l'image répétée de
l'autre, un repère de notre droite par exemple. Ces repères se répètent à
l'infini par le jeu des renvois d'images d'un miroir sur l'autre. En
rapprochant les miroirs on tasse les points. Lorsque les miroirs se touchent, les
repères sont infiniment proches, à se toucher. Pour les nombres réels, l'écart est encore
plus proche qu'à se toucher. La seule solution serait que les miroirs littéralement
s'interpénètrent. Il
faudrait, comme Alice, passer de l'autre côté du miroir. |
Voir Autre parabole / Parabole en géométrie
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Continuité Alors, il existerait plusieurs formes de
continu? Le rationnellement continu et le réellement
continu. La droite réelle n'est-elle qu'un modèle
scientifique de la réalité? On pourrait la rejeter car échappant à la mesure
et se voir accusé d'étroitesse d'esprit ou l'admettre et passer pour un
mystique. Beaucoup de phénomènes physiques sont
descriptibles en ne se référant qu'aux nombres rationnels. La théorie
des quanta arrête la divisibilité
de toute chose à une certaine granularité: les quanta de matière, de temps,
d'énergie... Pourtant,la science a besoin
des nombres réels. La majorité des constantes naturelles
(environ une douzaine en physique) sont des nombres irrationnels, du moins
dans l'état actuel de nos connaissances:
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Alors irrationnel ? Pour prouver qu'une constante universelle
est irrationnelle, il faudrait montrer qu'il est possible de l'exprimer sous
forme d'un motif qui se répète jusqu'à l'infini. C'est là une chose que nous ne pourrons
jamais vérifier. Avec les nombres irrationnels, les mathématiciens
ont fait surgir en science quelque chose dont aucune mesure ne peut décider. Il y a bien mathématiquement une distinction
entre rationnellement continu et réellement continu. Est-ce que ces notions s'appliquent au
temps? Pour un empiriste, toutes ces histoires
semblent complètement irrationnelles... |
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La racine carrée d'un nombre
non-carré parfait est un nombre irrationnel. La racine ixième d'un nombre
non-puissances ixième parfaite est un nombre irrationnel. Exemples:
Le produit de deux rationnels est
rationnel. Le produit d'un irrationnel par un
rationnel est irrationnel. Exemple:
S'il était rationnel, en le
multipliant par 2 (rationnel), le produit serait rationnel. Or: 2 x L'hypothèse était fausse. Il est
irrationnel. Autres irrationnels:
Un nombre irrationnel puissance un nombre
irrationnel peut donner un nombre rationnel >>>. Si un nombre au carré ne s'écrit pas
avec des facteurs premiers dont les
puissances sont paires, alors il est irrationnel. |
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Voir Irrationnels
qui produisent du rationnel
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Raisonnons par l'absurde et supposons |
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Étant rationnel |
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On réduit la fraction au maximum |
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M et N n'ont pas de diviseurs en commun |
M
et N premiers entre eux |
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Élevons au carré |
2
= M² /N² |
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Ou |
M²
= 2 N² |
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On déduit |
M²
est pair |
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Or, un nombre élevé au carré, garde sa
parité |
M
est pair et M = 2K |
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On revient à l'expression au carré |
M² = 4 K² = 2 N² |
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Ou |
N²
= 2 K² |
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Même raisonnement avec N |
N
est pair et N = 2 J |
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Alors M et N ont un facteur commun |
2
est facteur commun à M et N |
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La contradiction montre que l'hypothèse est
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Fausse
au départ |
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Et que |
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Voir Racine de deux / Théorie de nombres
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Hypothèses Le nombre
e est la constante bien connue
(constante de Neper). Il faut démontrer
que ce nombre est irrationnel. C'est
Lambert qui a fait la première
démonstration en 1761 La
démonstration ci-dessous est d'Euler. Une
approche à la démonstration est donnée en exponentielle. Matériaux nécessaires à la démonstration |
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Une des valeurs de e |
e = 1 + 1/1! + 1/2!
+ 1/3! + … |
(m1) |
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Relation entre
fractions |
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(m2) |
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x est
rationnel alors |
x = a/b avec a et b
deux entiers |
(m3) |
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Pas d'entier
entre 0 et 1 |
0 < x < 1
=> x n'est pas un entier |
(m4) |
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Principe de la démonstration Raisonnement par l'absurde: on suppose que e
est rationnel. On passe par l'évaluation d'une quantité
qui devrait être entière et s'avère ne pas l'être. Contradiction: donc hypothèse fausse. Astuce On utilise les factorielles et le
développement de e en factorielles. On cherche si les quantités en jeu sont
entières. Ou un majorant. |
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Démonstration
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Prenons le développement (m1) de e |
e = |
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … |
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Multiplions e par factorielle n en notant (rouge) le passage par n! sur n! |
e. n! = |
n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! + n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + … |
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On pose |
e. n! = |
M + N |
(d1) |
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Avec |
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M = n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! N = n! / (n+1)! +
n! / (n+2)! + … |
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Examinons M |
M = |
n! + n!/1! + n!/2! + n!/3! + …+ n! / n! Tous les termes sont des entiers =>
leur somme M est un nombre entier |
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Conclusion |
M |
est un nombre entier. |
(d2) |
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Examinons N maintenant |
N = |
n! / (n+1)! + n! / (n+2)! + … Tous les termes sont inférieurs à 1 Mais on ne peut rien en déduire pour
la somme. |
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On divise par n! |
N = |
1 / (n+1) + 1 / {(n+1) (n+2)} + 1 / {(n+1) (n+2)
(n+3)} + 1 / {(n+1) (n+2) (n+3) (n+4)} +… |
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Notons d'abord que |
N |
> 0 |
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On majore chacun des termes en utilisant un dénominateur plus petit Pour cela on ne conserve que deux facteurs au dénominateur |
N < |
1 / (n+1)
+ 1 / {(n+1)
(n+2)} + 1 / {(n+2)
(n+3)} + 1 / {(n+3)
(n+4)} +… |
|
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On utilise la relation (m2) |
N < |
|
|
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Tous les termes s'éliminent deux à deux, sauf les premiers |
N < |
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|
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Conclusion |
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0 < N < 2 /
(n+1) |
(d3) |
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Utilisons le raisonnement par l'absurde Supposons que e soit rationnel (m3) |
e = |
a/b avec a et b entiers |
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Remplaçons e par sa valeur dans la formule calculée ci-dessus |
e. n! = a/b. n! = |
M + N M + N |
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Ou encore |
a . n! = |
b . M
+ b . N |
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Prenons la quantité |
b . N = |
a . n! - b . M |
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Or |
a, b, n M b N |
sont des entiers par hypothèse est un entier selon la conclusion
(d2) est positif par hypothèse est positif selon la conclusion
(d3) |
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Conséquence |
b . N |
est un entier positif |
(4) |
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Selon la conclusion (d3) En multipliant par b |
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0 < N < 2 /
(n+1) 0 < b.N < 2b
/ (n+1) |
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Pour certaines valeurs de n à déterminer |
2b / (n+1) |
< 1 |
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Et en arrangeant (les valeurs étant positives) |
2b n |
< n + 1 > 2b - 1 |
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Conclusion |
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0 < b.N < 1
pour n > 2b - 1 |
(5) |
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et selon (m3) |
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0 < x < 1
=> x n'est pas un entier |
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b.N |
n'est pas un entier |
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Bilan |
b.N |
est un entier positif (4) n'est pas un entier (5) pour
certaines valeurs de n |
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Il y a contradiction dans certains cas |
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l'hypothèse du
départ est fausse e n'est pas rationnel. |
FIN |
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Tous
les nombres en Tous
les nombres en m Soit
l'équation: xn + a1 . xn-1 + …+ an = 0 avec n si x n'est pas un entier, il est irrationnel. Tout
nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue est un nombre irrationnel. Voir
développements à Lambert Nous savons, ou pas
* Fonction zêta: démonstration en 1978 par Roger Apéry |
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1) La somme de deux rationnels
est rationnelle. |
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Lecture: les nombres p et s appartiennent à l'ensemble
des nombres relatifs; les nombres q et s aussi, mais sans le zéro. |
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x + y est
rationnel. |
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2) La somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnelle. |
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y est rationnel |
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La somme n'est pas rationnelle. |
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3) La somme de deux nombres irrationnels n'est pas nécessairement
irrationnelle. |
Exemples
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4) Si x et y sont irrationnels,
alors: |
x + y ou x – y est irrationnel, il est possible que l'un d'eux soit rationnel
mais pas les deux. |
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x et y sont rationnels |
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x + y ou x – y ne peuvent pas être rationnels les deux à la fois. |
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Est-ce que i est irrationnel ?
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Rationnels et irrationnels s'appliquent aux nombres réels. Ainsi les nombres complexes ne font pas
partie de ces ensembles, le nombre "i" compris. La question de
savoir si "i" est irrationnel est du même ordre que savoir si 0,5
est un nombre pair ou impair. Définition des nombres rationnels
(rappel):
Le symbole i,
pour i² = -1, utilisé pour former les nombres
complexes n'est pas un nombre à proprement parler. Il est ni rationnel,
ni irrationnel.
Cependant tout dépend des conventions. Au niveau
universitaire et comme le font beaucoup de théoriciens des nombres (John
Conway, Gelfond, Ribenboim, …), i est considéré comme irrationnel pour le
motif qu'il certainement pas rationnel, traduisant simplement la relation: Cet usage est limité à Conclusion On retiendra que i n'est pas
classable, le reste est affaire de convention. Le nombre i fait partie des nombres complexes. |
Voir Inventaire des
ensembles de nombres
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Suite |
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Voir |
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Nombres |
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